先猜后證,天衣無縫
———2020年高考北京卷圓錐曲線試題的解析與反思

◇ 北京 朱祥翠 王芝平(特級教師)

美籍數學家波利亞說:“先猜后證——這是大多數的發現之道!”猜,即猜想,是合情推理;證,即證明,是演繹推理.“先猜后證”就是先用合情推理的方法得到一個似真的結果,再用演繹推理證明這個結論的正確性.先猜后證是直覺思維與邏輯思維天衣無縫的對接,是結論從發現到證明的完美過程,猜想與證明相輔相成、相得益彰.借助這種方法,很多較難的高考壓軸題也可得到突破和圓滿解決.本文以2020年高考北京卷試題為例,說明先猜后證在圓錐曲線探究性問題中的應用,供讀者參考.

試題再現(2020年北京卷20)已知橢圓C:過點A(－2,－1),且a＝2b.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點B(－4,0)的直線l交橢圓C于點M,N,直線MA,NA分別交直線x＝－4于點P,Q,求的值.

1 思路分析

圖1

事實上,可通過特殊情形推測一般情形.比如當直線l與x軸重合時,直線l與x軸分別交于橢圓的左、右頂點,此時即P(－4,),同理有這樣就將求值的問題轉化為證明|PB|＝|BQ|,即yP＝－yQ,即yP＋yQ＝0,即問題也能得以簡化.當然直線l方程形式的不同選擇,對具體運算的繁簡程度還是有影響的,這需要考生在解題實踐中不斷積累經驗.

2 規范解答

(1)橢圓C的方程為(求解過程略).

(2)方法1由題意可得直線l的斜率存在,設直線l的方程為y＝k(x＋4),由消去y,整理得

方法2當直線l與x軸重合時,直線l與x軸分別交于橢圓的左、右頂點,由思路分析可知,|PB|＝|BQ|;當直線l與x軸不重合時,設其方程為x＝ty－4.

直線AM的方程為令x＝－4,得.

所以|yP|－|yQ|＝0,即|PB|＝|BQ|.

3 解后反思

“預見結論,途徑便可以有的放矢.”此題我們通過特殊情形猜想出結論,再證明一般情形下也有同樣的結論.這種“先猜后證”的思路為證明指出了明確的方向,進而有效地降低了難度.

解析幾何中的三大難點是“想不到”“算不出”“消不掉”,尤其是考生在面對“定點”“定值”等探究性問題時,由于結論(結果)的隱蔽性比較強,使得問題具有探索性和開放性.此類探究性問題最能考查考生的探索能力和創新意識,能有效甄別不同思維層次的考生,因此此類問題在歷年高考題中屢見不鮮.希望同學們能從本題的分析與解答過程中提煉出解決圓錐曲線探究性問題的一般方法,積累解題經驗.