無窮小數列的比式判別法與根式判別法*

何桂添,李海玲,唐國吉

(廣西民族大學 數學與物理學院,廣西 南寧530006)

0 引言

斂散性是數列的基本性質,收斂于0的數列稱為無窮小數列(發散于∞或+∞,-∞的數列稱為無窮大數列).無窮小數列在收斂數列中扮演重要的角色,它對于研究數項級數的斂散性起著基礎性的作用.通行的數學分析教科書(文[1,3,5]等)都用專門的章節介紹數列的收斂性(包括極限的存在性與計算),主要的方法有定義法,柯西收斂準則,單調有界定理,兩邊夾定理等.我們知道,研究一般數列收斂性的方法都可以用來研究無窮小數列.然而,我們發現,對于無窮小數列的介紹和研究還不深入.另一方面,數學分析教科書(文[2,4,5]等)都介紹了正項級數收斂性的比式判別法與根式判別法.

受以上文獻的啟發,在本文中我們提出判別無窮小數列的比式判別法與根式判別法.順帶地,得到判別無窮大數列的相應判別法,給出例子說明主要結果.

在結束本節之前,我們先回顧幾個基本的結果(如分別參見文[2]第29頁練習題9和練習題8).

1 比式判別法

即當n>N時,有an+1

注1:q=1時,數列{an}可能是無窮小數列,可能是發散數列,也可能是收斂于任意指定正數的收斂數列.例如考慮3個數列:;(ii){n};(iii)任意指定的正數t,常數列{t}.容易驗證這3個數列都滿足是無窮小數列;{n}是發散數列;對任意給定的正數t,常數列{t}收斂于t.故當q=1時,無法鑒別數列{an}是否為無窮小量.

證明 :由定理1和引理2可推得結論.

若定理1和推論1中極限不存在時,可考慮上極限和下極限來判斷.

2 根式判別法

3 結論

我們先給出比式極限與根式極限的關系.

定理3 設數列{an}滿足條件an>0,?n∈

注3:由定理3的前半部分知,凡是能由比式判別法鑒別的無窮小數列,也能由根式判別法來判斷,再結合定理3的后半部分知,根式判別法適用范圍較之比較判別法更廣泛.

眾所周知,當公比q滿足|q|<1時,等比數列{qn}是無窮小數列.從定理1和定理2的證明可以看出:比式判別法和根式判別法都是借助于兩邊夾定理與一個無窮小的等比數列做比較來實現的.換句話說,只有當一個無窮小數列收斂于0的速度比某個無窮小的等比數列快時,才可以用比式判別法和根式判別法來判別.加深對無窮小數列的認識有利于對數項級數收斂性的研究.