充氣式索膜結構的找形分析

陳 政，趙海濤，陳吉安

(上海交通大學 航空航天學院，上海 200240)

充氣膜結構由于自身輕質、可折疊、耗費低等特點，受到了航空航天領域研究者的關注. 目前，研究者們已經設計出了很多充氣式膜結構，比如飛艇、太陽帆、可展天線、月球定居的多球面結構體、登陸緩沖器等[1-5].充氣膜結構需要依賴內外的壓差來輔助實現預期的結構形狀，同時，為了有足夠的承載能力，往往需要增加索結構進行輔助.對于充氣式索膜結構，由于膜和索結構自身的柔性特點，在結構設計的過程中找形分析十分重要.“找形”就是在給定的預應力和邊界條件下，尋找最小曲面或者平衡曲面的形狀.

目前，在索膜結構的找形分析中主要使用以下3種主流的方法：動力松弛法、力密度法、非線性有限元法[6].3種方法的基本思路都是對結構進行離散，建立幾何方程和本構關系，然后建立平衡方程并進行求解.它們的區別在于對結構離散的單元形式不同.力密度法采用離散的膜線替代連續的膜面域，在計算過程中會產生膜面應力不均勻的誤差現象；動力松弛法需要人工控制剛度系數和總動能限值，參數的確定帶有很大的經驗性，需要做大量的嘗試性工作.非線性有限元格式是建立在固體力學大變形問題的基礎上，相比前兩種方法，它能正確地跟蹤反映結構的工作機理，而且相對計算精度較高.隨著計算機技術的發展和計算能力的大幅度提高，有限元法已成為較普遍的膜結構的找形方法，因此本文采用非線性有限元方法進行大型索膜結構的找形分析.

充氣式索膜結構主要分為兩類：氣承式和氣囊式結構.對于像飛艇這樣封閉式的索膜結構，屬于氣囊式，索的作用一方面是增加膜結構的承載能力，另一方面是約束充氣膜結構的形狀變化，以便實現預期的外形[7].索和膜的協同分析問題是索膜結構分析中非常關鍵的一點，很多學者考慮索和膜之間的滑動問題，考慮滑動索的摩擦過程[8-11].對于氣承式的張拉結構，邊索的下部支撐結構對膜結構的作用明顯，采用分開分析的方法比較恰當.而對于氣囊式索膜結構的找形分析，繩索附著在膜體上，輔助作用為主，因此采用協同找形的方法較為合適，將索單元和膜單元設置為共節點，忽略相互之間的滑動，只關注最后的形狀和應力分布.膜結構的優化形狀也越來越趨于自由曲面，曲面形成的技術也更加成熟[12].

針對充氣式索膜結構受壓差作用的特點，本文提出了壓差預置法的概念，并且和節點平衡法相結合，提出了多目標優化的找形分析方案，對于解決工程實際中各種復雜結構的找形問題，有重要的參考價值.

1 理論分析

1.1 非線性有限元找形方法

1.1.1 非線性有限元理論

非線性有限元找形方法將膜結構有限元離散化成由節點和三角形單元構成的空間曲面結構，索結構離散為節點和桿單元構成的空間曲線結構，然后針對索膜結構的大位移小應變狀態，建立以節點位移為基本未知量的非線性有限元方程進行求解.

根據虛位移原理，采用修正拉格朗日描述即U.L.方法建立非線性有限元的節點平衡方程為

([k0]+[kσ]+[kL])d{δ}e=d{F}e.

(1)

1.1.2 小彈性模量找形法

索膜結構的初始平衡狀態分析(即找形分析)本質上屬于力平衡問題，理論上與結構采用的材料屬性無關，目的是讓結構能夠在初始位形可以自由變形，最終達到預應力分布狀態的平衡形狀.

不考慮材料屬性的自由變形，即不考慮材料的彈性模量和泊松比，在有限元的總剛度矩陣中，線性剛度矩陣和初位移矩陣等于零，只考慮幾何剛度矩陣，則非線性有限元找形的基本方程變為

[kσ]d{δ}e=d{F}e,

(2)

但是，只考慮幾何剛度矩陣，會導致具有復雜形態的結構發生畸變，導致結果很難收斂.

因此在工程實際中，通常采用小彈性模量法，選取比實際彈性模量相對較小的值，近似地將膜和索結構處理為柔性而且能自由變形的材料.假設膜材正交異性材料，應力矩陣[D]與彈性模量成正比，選取虛擬彈性模量E′=λE0，則平衡方程為

(λ([k0]+[kL])+[kσ])d{δ}e=d{F}e,

(3)

式中折減系數λ根據經驗一般取1/100～1/10 000，它影響找形的計算速度和精度.若取值過大，材料屬性對找形后的預應力影響較大；若取值過小，結果難以收斂.因此，根據實際情況可選取合適的值.

1.2 壓差預置法

1.2.1 壓差預置法的概念

傳統的張拉膜結構，采用小彈性模量法，然后通過位移設置來求解預期的張拉結構.充氣式索膜結構的特點是結構剛度的形成需要一定的壓差，否則結構本身不能承載.要正確計算出結構的初始形態，必須考慮壓差的作用.

因此，針對充氣式索膜結構，本文提出了壓差預置法的找形概念.所謂的壓差預置法，就是在初始形態的結構上，采用小彈性模量法，以施加壓力載荷的方法，使膜結構產生近似自由變形的變化直至達到設計目標，例如高度、體積、面積、應力分布等設計要求，從而得出最終的形態.

壓差預置法基于小彈性模量法進行找形分析，在虛擬彈性模量設置時，折減系數λ的選取應該與壓差的大小相匹配，壓差相對較大，會導致過度的大變形，產生不收斂的狀態，壓差相對較小，不能滿足設計要求.

1.2.2 節點平衡法

為介紹節點平衡法，先對自平衡狀態進行說明.根據文獻[13]，自平衡是針對張力集成結構提出的，該結構由桿結構和柔性索結構組成，與常規結構的不同之處在于，它是在內部預應力作用下才能具有成形能力和承受外載荷的剛度，而且不需要外部支撐就可以達到自身的平衡，“自平衡”由此而來.在自平衡狀態里面，每個節點都應該是平衡的，即節點處的合力為零.在找形的過程中，一般是要得到一些參數應該滿足的條件，比如長度參數l，根據節點平衡可得到：

F合(k1,…,kn,l)=0,

(4)

式中k1,…,kn為其他參數，因此可以得到一些關于l的方程，這些方程就是本文所關心的未知量所要滿足的條件.本文在有限元分析中進行節點平衡迭代的時候，是通過更新節點坐標的方法，即把每次求解的得到的節點新坐標作為平衡方程下一次求解的初始位置，從而一步步實現迭代求解.

1.2.3 壓差預置法與節點平衡法相結合

壓差預置法能夠初步的滿足設計要求，其結果可以作為初定的幾何曲面.找形分析的最終目的是為了找出盡可能均勻的平衡預應力形態，因此，可以在壓差預置法之后，再選用節點平衡法，在初始的幾何位形上更新節點坐標，然后重新設定索膜結構真實的材料常數和預應力分布進行自平衡迭代求解，直至迭代求解的結果滿足給定的精度，此時得到的幾何位形即為找形分析后的初始平衡形狀.

該找形方案的具體流程如圖1所示.在找形分析中，存在著2個重要的控制因素：預應力和壓差，這是充氣膜和張拉膜不同之處.對于預應力的選擇，根據經驗值，一般會選擇最大應力的1%～5%，除此之外，還要考慮到具體的工況，進行合理的選擇.壓差預置法中，壓差的施加一般采用逐步施加的方法，壓差最大值依賴于設計要求，比如高度、應力分布等，在飛艇結構中，選用了索和膜的應力比值作為設計要求.節點平衡法的作用是，對結構的應力分布進行調整，每次迭代都在幾何位形上更新節點坐標，然后進行位移和應力的重新求解，迭代停止的條件是可以應力均勻或者應力均衡[14].

2 驗證算例——球形充氣膜的找形分析

圖1 壓差預置法與節點平衡法相結合的找形方案

2.1 充氣膜結構的模型

在ANSYS12.1中，采用SHELL41的三角形單元，由于該模型由平面鼓起生成三維的曲面，大變形幅度較大，因此網格劃分時，單元的大小要稍微小一些，全局大小設置為400 mm.有限元模型如圖2所示.

首先采用壓差預置法進行找形，壓力沿著Z方向，由于變形較大，需要將壓強逐步加載，采用多載荷步法，從50 Pa開始，增量為50 Pa，直至加載到300 Pa，此時的矢量高為2 095 mm，在文獻[15]中，此模型的解析解為2 101 mm，誤差為0.29%.之后，為了使受力更均勻，使用節點平衡法.此時，更新節點坐標，然后將材料屬性改為真實屬性，再進行自平衡迭代，迭代4次后，達到2 100 mm，此結果也逼近了解析解，同時最大和最小應力的變化值相比第1次迭代變化很小(見表1)，因此可以終止迭代.最終找形分析的結果如圖3所示.

圖2 半徑的圓形膜面的有限元模型

表1 平衡迭代的過程

圖3 找形后的膜結構的位移和受力結果

2.2 壓差的作用分析

充氣膜結構的找形分析屬于大位移小應變問題，具有很強的幾何非線性，壓差載荷的分步加載有利于結構形態的逐步穩定變化.壓差是維持結構穩定的關鍵因素.

為了分析壓差對結構的位移變化的影響，選取頂點的高度變化作為因變量進行分析. 如圖4所示，在一定范圍內，壓差加載的過程中，結構的位移變化基本呈現線性增長的狀態.需要注意的是，預應力的大小和壓差需要控制在一定范圍內，否則會產生不收斂的狀態.

圖4 壓差對頂點高度的影響

3 算例分析——飛艇索膜結構的找形分析

飛艇艇身屬于封閉式囊體結構，在進行形狀的優化時，屬于多目標優化.飛艇的承載能力主要是靠浮力和重力、載荷平衡來實現的，因此囊體的體積必須滿足設計要求；同時，為了充分發揮索和膜的材料性能，期望索和膜的應力之比有一個合適的值.針對飛艇的特點，本文提出了合理的找形方案，如圖5所示，先采用壓差預置法與節點平衡法相結合的方法來滿足索和膜結構的應力比值的設計要求，然后在此基礎上，采用等比例縮放的方法，對結構進行微調以滿足囊體的體積要求.

圖5 飛艇索膜結構的找形分析方案

3.1 飛艇索膜結構的模型

以10 m的飛艇作為實例，模型的示意圖如圖6所示，外形通過兩個橢圓曲線組成，作為初步的設計模型.該艇的設計要求為滿足體積為33.5 m3，并且考慮增加繩索來加強結構的承載性能，橫向繩索9根，縱向繩索8. 組成結構的材料屬性見表2.

圖6 飛艇索膜結構的示意圖

表2 膜材和索的材料屬性

特別說明，熱膨脹系數不是真實的，只是為了采用降溫法施加預應力需要，自行設置的.對于膜材和繩索的折減系數，均采用λ=1/1 000.

在ANSYS12.1中創建有限元模型，膜結構采用SHELL41三角單元，屬性為只受拉，不受壓，索結構采用LINK10單元，屬性也是只受拉，不受壓.索膜結構在找形分析時，采用協同找形的方式，即有共同的坐標位置，因此將索單元和膜單元進行共節點設置.全局大小設置為100 mm.約束條件為：左頂點約束住x、y、z3個方向的位移，右頂點只約束y和z方向.

求解方式采用非線性有限元方法，考慮大變形因素，采用Newton-Raphson迭代方法求解位移，收斂準則采用力收斂準則，收斂值可在0.01～0.05之間選擇.模型計算的收斂受到很多因素的影響，如結構的幾何外形、網格劃分的密度、預應力的設置等，需要根據算例的情況進行調整.

3.2 找形過程

飛艇結構的設計中，通常會加入索結構來增強承載能力，根據索和膜的強度值，膜材的強度800 N/cm，索的強度值為1.25 t/φ4，但是設計形狀受載時，索發揮的作用不大，在支撐壓差作用下，索的應力值比膜材小很多.因此，希望通過找形分析后，能讓索和膜充分發揮出材料的性能.

本算例找形分析的目標為：在設計形狀的基礎上改善飛艇索膜結構，使索和膜在支撐壓差800 Pa作用下，應力值之比在1.6倍左右，同時最終模型的總體積為33.5 m3.

預應力的選擇：選擇設計形狀受載800 Pa時，索的最大應力值為3.512 MPa，預應力選取為該值的3%，因此，索結構的預應力為σ1=1.053 6×105Pax；由于膜結構的彈性模量比索結構小很多，因此預應力選為索結構的預應力的9/20，σ2=4.740 0×104Pa.預應力的施加，索和膜都選用降溫法，由于虛擬彈性模量選擇實際模量的1/1 000，虛擬熱膨脹系數為實際值的1 000倍，根據公式σ=E·α·Δt，對應的索的降溫溫差為Δt1=0.526 8 ℃，膜的降溫溫差為Δt2=0.526 8 ℃，參考溫度選0 ℃.

采用壓差預置法進行找形分析時，壓差采用多載荷步施加，壓差值達到185 Pa時，索和膜的最大應力值之比為1.85.此時選取的應力比值要比設計目標大一些，因為在設計模型基礎上壓差施加后模型會膨脹放大，比值隨著模型的擴大會增大.

在壓差預置找形之后，模型的應力分布需要做微量的調整，采用自平衡迭代法，迭代5次(根據經驗，一般5次之內即可滿足平衡狀態).由于初始模型的體積即為33.5 m3，進行壓差找形后，體積增大，因此在找形結束后，把模型進行等比例縮小，縮小至體積為33.5 m3.

3.3 找形分析前、后的對比

找形分析之后，飛艇的形狀有所變化.經過分析之后，發現相比橫向索，縱向索的作用相對較小，因此只關注縱向截面圖.

如圖7所示，總長度由10.078 m縮短為9.59 m，艇身變得更圓潤一些.如圖8局部放大圖所示，找形分析之后的模型存在鼓包，這樣的形狀會使索結構發揮本身的作用，承擔更多的載荷來優化膜結構的受力.

圖7 找形前、后的外形對比圖，體積均為33.5 m3

圖8 找形前、后的外形局部放大圖

為了研究找形分析前后的模型效果，按照設計目標，分析在800 Pa壓差作用下的模型的受力情況.如圖9所示，是找形分析前后的模型的應力云圖.找形分析之前，索的最大應力是3.512 MPa，膜的最大應力為4.762 MPa，比值為0.74；找形分析之后的模型，索的最大應力是7.56 MPa，膜的最大應力為4.578 MPa，倍數為1.65，與設計目標1.6倍左右相符合，找形的效果很好.

圖9 找形前、后的應力云圖對比

經過對比之后，發現找形之后膜的最大應力值有所減小，而且索的應力值則有明顯增大，是找形前的2.15倍，索的應力值的增大改善了膜的應力分布，如圖10所示，采集了飛艇結構一條母線上的所有節點的應力值，即圖9(a)和圖9(c)中的找形前、后的膜的應力值進行對比，由圖可知，膜的受力整體水平下降，而且受力更加均勻.

圖10 找形前、后的膜面結構的應力分布圖

3.4 方案評價

通過壓差預置法與節點平衡法相結合，對10 m飛艇的索膜結構進行找形分析，得到了在800 Pa壓差作用下，索與膜的最大應力比值為1.65的優化模型.

最初的設計模型，索與膜的最大應力比值為0.74，但是索的強度值比膜大很多，索的材料性能沒有得到充分的發揮.針對充氣式索膜結構的特點，提出了多個設計目標的優化方案，索膜的應力比值為1.6左右，目標體積為33.5 m3.通過本文提出的找形方案，對設計結構進行優化之后，調整了索膜結構的應力分布狀態，使膜結構的受力更加均勻，索結構充分發揮了自身的承載性能.

4 結 論

1)球形充氣膜算例中，以一定的矢頂高和應力分布均衡為優化目標，采用本文的方案得到了與理論值僅僅相差0.29%的結果，驗證了本文所提方案的可行性.

2)飛艇索膜結構的找形分析中，以固定體積、固定索膜最大應力的比值和應力分布均勻為優化目標，采用本文的優化方案，最終得到了索膜最大應力的比值為1.65的優化模型，使索的最大應力值為找形前的2倍，充分發揮了索的增強承載作用.