極限狀態(tài)下的桁架梁及其等代梁的有限元分析

徐靚玲 陳焰周

(中南建筑設(shè)計院股份有限公司，湖北 武漢 430071)

1 概述

1.1 桁架梁等代原則

梁主要為受彎構(gòu)件，從設(shè)計的角度提出桁架梁與鋼梁之間的三個等代原則：1)兩者能夠承受的彎矩一樣；2)兩者都率先在受彎狀態(tài)下發(fā)生破壞；3)兩者的重量相差無幾。

圖1給出了桁架梁及其等效實腹鋼梁的截面示意，其中符號代表含義如下：H—梁高;A1—等代實腹梁的上/下翼緣面積;b—等代實腹梁腹板厚度;A2—桁架梁上下弦桿翼緣面積;A3—桁架梁上下弦桿的腹板面積;A4—桁架梁腹桿中單角鋼的截面積。

根據(jù)二者承受彎矩相同可以推出：

(A2+A3)≈A1+bH/6

(1)

使A1=A2，則：

A3≈bH/6

(2)

根據(jù)兩者重量基本相同可以得到：

2(A2+A3+A4/cosθ)≈2A1+bH

(3)

其中,θ為腹桿與弦桿的夾角。

代入A1=A2，A3≈bH/6，則：

A4/cosθ≈bH/3

(4)

根據(jù)破壞發(fā)生在受彎狀態(tài)，擬定梁承受最大彎矩為M，最大剪力為V：

1)對于實腹鋼梁，最大彎矩假定由翼緣承擔(dān)，最大剪力假定由腹板承擔(dān)，根據(jù)受彎先于受剪破壞，可以得到：

(5)

2)對于桁架梁，最大彎矩假定由弦桿承擔(dān)，最大剪力假定由腹桿承擔(dān)，弦桿與腹桿的夾角設(shè)為45°，根據(jù)受彎先于受剪破壞，結(jié)合上述推導(dǎo)結(jié)果，并適當(dāng)簡化可以得到：

b>3VA1/M

(6)

綜上，等效實腹鋼梁的腹板厚度應(yīng)滿足式(6)的要求。

上述分析基于等代原則給出了等代梁的腹板厚度和桁架梁弦桿、腹桿尺寸的確定辦法。

1.2 鋼桁架主梁分析

假定一鋼桁架主梁，18 m跨，高度為2.0 m，其上每隔4.5 m均勻分布F=1 650 kN的荷載，如圖2所示。不難推算截面1—1范圍內(nèi)最大剪力V1=2 475 kN，截面2—2范圍內(nèi)最大剪力V2=825 kN，梁端最大彎矩M1=9 282 kN·m，中間段最大彎矩M2=5 569 kN·m。按照1.1所述的等代分析方法，考慮實際因素，如荷載分項系數(shù)、弦桿承受板荷載產(chǎn)生的節(jié)間彎矩等，1—1段的桁架弦桿T型截面取T450×300×22×52，腹桿截面取2L200×24，對應(yīng)的實腹鋼梁為H450×2 000×19×52；2—2段的桁架弦桿T型截面取T450×300×16×34，腹桿截面取2L140×14，對應(yīng)的實腹鋼梁為H450×2 000×7×34。

1.3 鋼桁架次梁分析

假定一鋼桁架次梁，兩端支座按鉸接考慮，18 m跨，高度為1.5 m，承擔(dān)均布荷載Q=80 kN/m，如圖3所示，易得分段1內(nèi)最大剪力V1=720 kN，最大彎矩M1=2 430 kN·m，分段2內(nèi)最大剪力V1=360 kN，最大彎矩M2=3 240 kN·m。按照1.1所述的等代分析方法，同樣考慮弦桿需承受板荷載產(chǎn)生的節(jié)間彎矩等影響因素，分段1范圍內(nèi)桁架弦桿T型截面取T300×250×16×24，腹桿截面取2L125×12，對應(yīng)的實腹鋼梁為H300×1 500×7.5×24；分段2范圍內(nèi)桁架弦桿T型截面取T300×250×14×30，腹桿截面取2L100×10，對應(yīng)的實腹鋼梁為H300×1 500×4.5×30。

2 有限元對照分析

2.1 桁架主梁及等效鋼梁極限狀態(tài)下的應(yīng)力分析

按照圖2中的加載方式，在分析軟件中查看桁架主梁及其等效鋼梁在極限狀態(tài)下的整體應(yīng)力狀態(tài)、上下翼緣應(yīng)力狀態(tài)以及桁架梁的腹桿和等效實腹鋼梁的腹板應(yīng)力狀態(tài)，可以得出以下結(jié)論：1)從應(yīng)力分布狀態(tài)及應(yīng)力值來看，桁架梁上下弦桿翼緣與等效實腹鋼梁上下翼緣基本一致，兩端及中部全截面進入屈服。2)桁架腹桿以及等效鋼梁全截面進入屈服。3)桁架梁與等效鋼梁的受力失效過程如下：桁架梁上下弦桿翼緣(等效鋼梁上下翼緣)兩端部分進入屈服→桁架梁腹桿翼緣在次彎矩作用下局部開始進入屈服→桁架梁上下弦桿翼緣(等效鋼梁上下翼緣)中間部分進入屈服→桁架梁腹桿(等效鋼梁腹板)全截面進入屈服→構(gòu)件失效。

2.2 桁架次梁及等效鋼梁極限狀態(tài)下的應(yīng)力分析

按照圖3中的加載方式，在分析軟件中查看桁架次梁及其等效鋼梁在極限狀態(tài)下的整體應(yīng)力狀態(tài)、上下翼緣應(yīng)力狀態(tài)以及桁架梁的腹桿和等效實腹鋼梁的腹板應(yīng)力狀態(tài)，可以得出以下結(jié)論：1)從應(yīng)力分布狀態(tài)以及應(yīng)力值來看，桁架梁上下弦桿翼緣與等效鋼梁上下翼緣基本一致，端部及中部全截面進入屈服。端部屈服位置為桁架梁腹桿開始連接處以及等效鋼梁腹板厚度改變處。2)桁架腹桿以及等效鋼梁全截面進入屈服。3)桁架梁與等效鋼梁的受力失效過程如下：桁架梁上下弦桿翼緣(等效鋼梁上下翼緣)中間部分進入屈服→桁架梁腹桿翼緣在次彎矩作用下局部開始進入屈服→桁架梁上下弦桿翼緣(等效鋼梁上下翼緣)兩端部分進入屈服→桁架梁腹桿(等效鋼梁腹板)全截面進入屈服→構(gòu)件失效。

3 考慮桁架梁平面外變形下的極限承載力

在本節(jié)中，主要分析桁架梁在考慮平面外變形下的極限承載力。

3.1 桁架主梁分析

圖4為豎向荷載作用下桁架主梁的豎向位移曲線和平面外變形曲線，其中X軸表示構(gòu)件最大變形，Y軸數(shù)值為設(shè)計荷載的倍數(shù)；圖5為豎向荷載作用下鋼桁架主梁與等效鋼梁的全過程豎向變形曲線，其中X軸表示構(gòu)件豎向最大變形，Y軸數(shù)值為設(shè)計荷載的倍數(shù)。

從圖4中可以看出：1)桁架梁豎向位移曲線在1.4倍設(shè)計荷載時，位移曲線開始由直線變?yōu)榍€，而平面外變形曲線要到2.0倍設(shè)計荷載之后開始由直變曲，表明桁架主梁平面外失穩(wěn)晚于面內(nèi)桁架梁翼緣屈服。2)桁架梁面外變形較豎向位移小較多。3)桁架梁的極限承載力與圖5中承載力相當(dāng)，表明桁架梁構(gòu)件面外失穩(wěn)沒有明顯影響構(gòu)件承載力。4)桁架梁以構(gòu)件面外失穩(wěn)控制的承載力可取2.0倍設(shè)計荷載。5)桁架梁以構(gòu)件不顯著進入屈服階段控制的承載力可取1.4倍設(shè)計荷載。

圖6給出了桁架梁在極限狀態(tài)下的平面外變形圖及局部應(yīng)力云圖。從圖6可以看出，桁架梁面外變形較大的構(gòu)件為腹桿。

3.2 桁架次梁分析

圖7為豎向荷載作用下桁架次梁的豎向位移曲線和平面外變形曲線，其中X軸表示構(gòu)件最大變形，Y軸數(shù)值為設(shè)計荷載的倍數(shù)；圖8為豎向荷載作用下鋼桁架次梁與等效鋼梁的全過程豎向變形曲線，其中X軸表示構(gòu)件豎向最大變形，Y軸數(shù)值為設(shè)計荷載的倍數(shù)。

從圖7中可以看出：1)桁架梁豎向位移曲線在1.6倍設(shè)計荷載時，位移曲線開始由直線變?yōu)榍€，而平面外變形曲線在2.0倍設(shè)計荷載之后開始由直變曲，表明桁架梁平面外失穩(wěn)與面內(nèi)桁架梁翼緣屈服基本同步。2)桁架梁面外變形與豎向位移量基本相當(dāng)。3)桁架梁的極限承載力與圖

8中承載力相差明顯，表明桁架梁構(gòu)件面外失穩(wěn)顯著減小了構(gòu)件承載力。圖8中桁架梁極限承載為4.2倍設(shè)計荷載，而考慮桁架梁平面外失穩(wěn)后的極限承載力不到3.1倍設(shè)計荷載，減小較多。4)桁架梁以構(gòu)件面外失穩(wěn)控制的承載力可取2.0倍設(shè)計荷載。5)桁架梁以構(gòu)件不顯著進入屈服階段控制的承載力可取1.6倍設(shè)計荷載。

圖9給出了桁架梁在極限狀態(tài)下的平面外變形圖及局部應(yīng)力云圖。從圖9可以看出：1)桁架梁面外變形主要為桁架梁下翼緣，變形位置主要集中在兩端第一節(jié)腹桿內(nèi)的翼緣部分。2)桁架梁的腹桿面外變形不大。3)桁架梁兩端連接板面外變形顯著。

3.3 面外失穩(wěn)狀態(tài)分析

對于桁架主梁與次梁面外失穩(wěn)的狀態(tài)不一樣，這主要是由桁架主梁與次梁的兩端約束不一樣。對于桁架主梁，兩端與框架柱連接，兩端約束為固結(jié)，在豎向荷載作用下桁架下翼緣端部雖然受壓，但是由于面外彎曲約束較強較難出現(xiàn)面外變形，最終加載到一定階段受壓腹桿面外屈曲；對于桁架次梁，兩端與框架主梁連接，兩端約束一般認(rèn)為為鉸接，翼緣的面外轉(zhuǎn)動基本沒有約束，因而在豎向荷載作用下桁架下翼緣首先發(fā)生面外變形。

4 結(jié)語

1)桁架主梁與次梁在豎向荷載作用下的平面外變形不同，桁架主梁為受壓腹桿面外屈曲，而桁架主梁為下翼緣首先發(fā)生面外變形。2)對于本工程設(shè)計的桁架梁，以構(gòu)件面外失穩(wěn)控制的承載力，桁架主梁及次梁可取2.0倍；以構(gòu)件不顯著進入屈服階段控制的承載力，桁架主梁可取1.4倍，桁架次梁可取1.6倍。計算中采用的是鋼材的屈服強度345 N/mm2，而轉(zhuǎn)化為設(shè)計值時應(yīng)乘以0.8，因而若以構(gòu)件不顯著進入屈服階段控制的承載力，桁架主梁可取1.12倍設(shè)計荷載，桁架次梁可取1.28倍設(shè)計荷載，富裕度不大。3)對于桁架主梁和次梁，桁架梁面外變形和豎向位移兩者間差異不同，同時桁架梁構(gòu)件面外失穩(wěn)對構(gòu)件承載力的影響對于主梁和次梁也顯著不同。