談談高考中用“高等數學知識”和“二級結論”答題的那些事

◇ 江西 張金生(特級教師)

(作者單位:江西省南昌三中)

在高考中能否用“洛必達法則”“拉格朗日中值定理”等高等數學知識答題? 能否直接用常用的二級結論,會不會扣分? 這些一直是我們同學關心的問題.筆者多年參與高考試卷閱卷工作,現就這個問題來跟同學們聊聊.在高考中用高等數學知識解答一般不扣分,但不加證明直接使用二級結論扣不扣分要視具體情況具體分析.比如,新課改以來,導數模塊成為高考的重點和熱點內容,高等數學中的泰勒展開式、麥克勞林(Maclaurin)公式等是導數試題命制的一個重要題源.這些年在高考中使用“洛必達法則”“拉格朗日中值定理”等均未扣分.這里,我們來談談這兩年高考閱卷中的幾個典型案例.

例1(2020年全國卷Ⅰ理17)設{an}是公比不為1的等比數列,a1為a2,a3的等差中項.

(1)求{an}的公比;

(2)若a1＝1,求數列{nan}的前n 項和.

(1)設{an}的公比為q,由題設得2a1＝a2＋a3,即2a1＝a1q＋a1q2,所以q2＋q－2＝0,解得q＝1(舍去),q＝－2,故{an}的公比為－2.

(2)設Sn為{nan}的前n 項和,由(1)及題設可得an＝(－2)n－1.所以

在試評中發現,有考生用二級結論:若cn＝(an＋b)qn－1,則{cn}的前n 項和Sn＝(An＋B)qn－B,其中本題cn＝n(－2)n－1直接套公式得所以

該解法沒有錯位相減的過程,直接套用課外二級結論.經過試評組全體成員討論,最后決定扣1分,除非證明了所用的二級結論.

例2(2018 年全國卷Ⅰ文18)如圖1所示,在平行四邊形ABCM 中,AB ＝AC ＝3,∠ACM ＝90°,以AC為折痕將△ACM 折起,使點M 到達點D 的位置,且AB⊥DA.

圖1

(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;

(2)Q 為線段AD 上一點,P 為線段BC 上一點,且求三棱錐Q-ABP 的體積.

大綱對文科生只要求了解空間直角坐標系(《必修2》),對空間向量應用不作要求,但在2018年閱卷過程中發現有幾個文科考生用高等數學里的向量的混合積來解答,請看第(2)問解答過程:以C 為坐標原點的方向為y 軸正方向,建立空間直角坐標系C-xyz,則A(0,3,0),B(－3,3,0),D(0,0,3),由1),

閱卷過程中發現這種應用高等數學空間解析幾何的解法,解答過程完整,還是給予了肯定,沒有扣分.

例3(2020年全國卷Ⅰ理20文21)已知A,B分別為橢圓的左、右頂點,G 為E 的上 頂 點為直線x＝6上的動點,PA 與E 另一交點為C,PB 與E 另一交點為D.

(1)求E 的方程;

(2)證明:直線CD 過定點.

該題看似常規,但考生普遍反映很難算.根據試評結果,本題試評組給出了8種解法,常規解法之外,下面兩種解法用了兩個二級結論,即“橢圓上動點與長軸兩端點連線斜率之積為定值”“橢圓上動點與中心對稱兩點連線斜率之積為定值”,開拓了解題思路,簡化了運算.

一些對數學有濃厚興趣的同學,自學了高等數學知識,碰巧在高考時用上了,這是值得肯定的.在解答步驟多的計算題中穿插了“二級結論”通常也不扣分.掌握一定的典型的課外二級結論,結合解題技巧是解題靈活性的表現,也直接影響著運算的快捷程度.在學習過程中不斷地對典型試題尋本探源、總結反思、積累經驗,總結出“二級結論”和一點解題小竅門、小技巧是必要的.但過于熱衷 “秒殺”,死記太多 “二級結論”,把數學思維活動變成死記硬背,這不可取.