高考中有關橢圓曲直聯立計算的思考

◇ 山東 王晨晨

(作者單位:山東省濟寧孔子國際學校)

高考數學中有一道必考解答題,即圓錐曲線問題,并且此類大題一直處于壓軸地位.解一題會耗時15～20 min之久,這很容易讓學生失分.其實從曲直聯立的一般情況推導,可以總結出一些規律,這將有助于此類問題的突破.在設而不求的曲直聯立中,直線的設法無疑決定著計算的復雜程度,相信教師們都有總結,此文不再贅述.本文只介紹橢圓在高考環境下曲直聯立計算中的一些規律,希望對廣大師生有所幫助.

(a2A2＋b2B2)x2＋2a2ACx＋a2C2－a2b2B2＝0.

設x1,x2為其兩根,記α＝a2A2＋b2B2,β＝2a2AC,γ＝a2C2－a2b2B2,則

由對稱性,我們將x 與y,A 與B,a 與b 均互換即可得消x 留y 的情形,即

可以總結出如下規律.

① 兩根之和與兩根之積中有共同的分母α.

② 和式分子都為“－2倍”.

如計算x1＋x2時,只關注式的等號左邊,忽略含y 的項,只關注三項中所含字母a2,A,C,將其與“－2”相乘,即分子為－2a2AC.

③ 積式分子亦可大致記為分母α 中所表示未知數有關部分字母與(C2－另一部分)之積.如計算x1x2時,將分母a2A2＋b2B2看成兩部分,與x 有關部分a2A2,與y 有關部分b2B2,而分子為a2(C2－b2B2).

④Δ 與Δ′相近,但事實上我們構造直線方程時,若為y＝kx＋b,y－y0＝k(x－x0),化為一般式后B＝－1,Δ′＝4a2b2(a2A2＋b2B2－C2);若為x＝ty＋m,化為一般式后 A ＝1,Δ ＝4b2a2(b2B2＋a2A2－C2).所以,計算時,有Δ＝4a2b2(α－C2).

特別地,弦長公式

同理,另一形式

分析至此,相關計算結論的記憶與運用顯然是可行的.而橢圓雖因焦點位置不同而有不同情形,但從形式上來講兩者無異,則橢圓中結論通用.

結論運用在計算中不只是能快速、準確地求出兩根之和、積、判別式、弦長等常用數據,其更大的優勢是代入后保留了同分母形式,無疑簡化了形式,可提高后續計算準確率.教學時不宜急于推廣結論,一定要等到學生經過一定量的曲直聯立的充分練習后再進行.教學中教師首先應培養的是學生們的核心素養,切勿本末倒置,建議可放于一輪復習中.