探究高中數(shù)學(xué)解析幾何
———以圓錐曲線與直線的位置關(guān)系為例

◇ 江蘇 蔡 祥

(作者單位:江蘇省鹽城市伍佑中學(xué))

圓錐曲線證明問題一直是數(shù)學(xué)考試中的必考題目,縱觀歷年高考,這類問題都是以解答題的形式出現(xiàn).由于圓錐曲線問題具有抽象性、計(jì)算過程較復(fù)雜、涉及的知識面廣泛、應(yīng)用能力較強(qiáng),對于學(xué)生來說有一定的難度.本文以圓錐曲線與直線的位置關(guān)系為例,分析教學(xué)現(xiàn)狀,并提出有效的教學(xué)模式與手段.

1 教學(xué)現(xiàn)狀分析

1)教學(xué)模式基本上教師是以制作課件、電子白板教學(xué)為主,雖然范圍廣泛,但都還是以傳統(tǒng)的思維進(jìn)行教學(xué),以教師自己為中心,導(dǎo)致學(xué)生無法跟上教師的教學(xué)思路.

2)對于學(xué)生來說,課堂缺少靈活性、激勵性,學(xué)生不積極主動學(xué)習(xí),對曲線幾何理論的掌握不夠充分,長此以往,導(dǎo)致惡性的循環(huán),碰上綜合性較強(qiáng)的問題,就會“想破腦殼”也無法動筆解答.

2 解析幾何問題的分析角度

圖1

3 真題展示分析

例設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,已經(jīng)橢圓的離心率為

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)直線l:y＝kx (k＜0)與橢圓交于P,Q 兩點(diǎn),l與直線AB 交于點(diǎn)M,且點(diǎn)P,M 均位于第四象限.若△BPM 的面積是△BPQ 面積的2 倍,求k的值.

(2)設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)M 的坐標(biāo)為(x2,y2),由題意可知x2＞x1＞0,點(diǎn)Q 的坐標(biāo)為(－x1,－y1).由△BPM 的面積是△BPQ 面積的2倍,可得|PM|＝2|PQ|.

從而x2－x1＝2[x1－(－x1)],即x2＝5x1,易知直線AB 的方程為2x＋3y＝6.

由x2＝5x1,可得平方整理得18k2＋25k＋8＝0,解得

此題考查的是圓錐曲線與直線的位置關(guān)系.是歷年高考中常見的考點(diǎn),基本上以解答題的形式出現(xiàn).解答此類題目首先要把兩個三角形的面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P 與M 的橫坐標(biāo)間的關(guān)系,進(jìn)而得到關(guān)于k 的方程,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.

圓錐曲線與直線的位置關(guān)系等幾何內(nèi)容無疑是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn).它對學(xué)生空間思維、理解、函數(shù)應(yīng)用等能力都有很高的要求,考核內(nèi)容涉及很多知識點(diǎn).因此,教師在平時(shí)的教學(xué)當(dāng)中一定要讓學(xué)生聽懂、理解,用畫圖、演示等方式,讓學(xué)生動起來,讓學(xué)生產(chǎn)生興趣才是關(guān)鍵.