含有理想二極管電路的交變電流有效值及功率分析

◇ 福建 鄭小小 黃長福 陳藝斌

(作者單位:福建廈門雙十中學漳州校區)

理想二極管具有單向導電性,它接在變壓器副線圈回路中時會使得回路結構發生一定的改變,使得求對應的電壓、電流有效值時出現困難.此時,對原副線圈電流比是否還跟匝數成反比,原線圈的功率是否還等于負載功率等問題,學生理解起來有點吃力,也容易混淆.本文以兩道例題采用兩種不同分析方法解出來的結果相互矛盾為切入點,來探究含有理想二極管電路的交變電流有效值及功率關系.

1 交變電流的有效值

交變電流的有效值是為計算功率和能量問題而建立的等效概念,其原理主要是利用電流的熱效應,讓交變電流和恒定電流通過一相同電阻,經過相同時間,如果產生的焦耳熱一樣,就把這一恒定電流的數值稱為該交變電流的有效值,數學表達式可寫為

其中t＝t2－t1,由此可知也就是說,交變電流的有效值是電流在通電時間內的方均根值.

對正余弦交流電來說,我們可以通過簡單的積分算出有效值,在一個周期時間內有

如圖1所示,當正余弦交流電與理想二極管以及定值電阻串接在一起時,由于二極管的單向導電性,在一個周期內將有一半時間回路中沒有電流通過,cd兩端的接收電壓隨時間的變化如圖2所示,此時根據電流的熱效應有得cd 端電壓有效值同理可知這也是整個回路的電流有效值.

圖1

圖2

2 交變電流的功率

在高中階段,很多教師和學生都認為交變電流的功率等于電壓有效值和電流有效值的乘積,對于純電阻而言的確如此,但是對于理想電感和電容元件而言其實際功率卻是零,具體分析如下.

2.1 視在功率和功率因數

假設某交流電的電壓和電流瞬時值分別為u＝Umsin(ωt＋φ)和i＝Imsinωt,則瞬時功率可表示為P＝ui＝UmImsinωtsin(ωt＋φ),其中

由此可知,交變電流瞬時功率

則在一個周期內的平均功率為

其中U 和I 分別為交變電流的電壓有效值和電流有效值,它們的乘積稱為視在功率,cosφ 稱為功率因數.

2.2 電阻、電容和電感對交變電流功率的影響

如果讓交流電通過理想二極管,情況又會怎樣呢? 結果類似于相位差為的情況,由圖1可知,當前半個周期正向電流通過二極管時,理想二極管電阻為零,兩端沒有電壓,而后半個周期電阻無窮大,電流通不過去,盡管此時二極管兩端的電壓為交流電源電壓,因此可以說理想二極管也是一個不耗能元件.

接下來對2014年新課標卷Ⅱ及2020 屆湖南省四校聯考中含有理想二極管電路的題目進行分析,采用同一種方法解決同一類型的問題,其中一道題目結果正確,而另一題的結果卻是錯誤的,到底孰是孰非,筆者針對這個問題進行了較為詳細的分析!

3 試題分析與探討

例1(2014年新課標卷Ⅱ)如圖3,一理想變壓器原、副線圈的匝數分別為n1、n2.原線圈通過一理想電流表○A 接正弦交流電源,一個二極管和阻值為R 的負載電阻串聯后接到副線圈的兩端.假設該二極管的正向電阻為零,反向電阻為無窮大.用交流電壓表測得a、b 端和c、d 端的電壓分別為Uab和Ucd,則( ).

圖3

A.Uab∶Ucd＝n1∶n2

B.增大負載電阻的阻值R,電流表的讀數變小

C.負載電阻的阻值越小,cd 間的電壓Ucd越大

D.將二極管短路,電流表的讀數加倍

分析此題參考答案為B、D,對選項D 爭議較大,采用兩種看似都正確的方法解答結果卻不相同.

解法1設副線圈兩端電壓為U2,則有由于二極管具有單向導電性,根據有效值定義可知將二極管短路,變壓器的輸出功率為原來的 2 倍,由 P ＝2P1＝UabI1可知,電流表的讀數變為原來的2倍.

解法2假設二極管短路前,根據電流值與匝數成反比可知二極管短路后有由解法1可知因此短路后有由于匝數比不變,所以選項 D 錯誤.

例2如圖4-甲所示,理想變壓器原線圈匝數n1＝2200匝,副線圈匝數n2＝100匝,電流表、電壓表均可視為理想交流電表,定值電阻R＝10Ω,二極管D 正向電阻等于零,反向電阻無窮大.變壓器原線圈接入如圖4-乙所示的交流電壓,下列說法中正確的是( ).

圖4

A.電壓表的示數約為10V

B.電流表的示數約為0.032A

C.穿過變壓器鐵芯的磁通量變化率的最大值約為1.0 Wb·s－1

D.穿過變壓器鐵芯的磁通量的最大值約為4.5×10－4Wb

分析此題正確選項為BD.針對選項B 由上題中的解法1可知,原線圈的功率等于副線圈回路消耗的功率,即解得I＝0.023A.再1由解法2可知,副線圈的電流由電流與匝數成反比可知代入數據解得原線圈電流的有效值I1≈0.032A.

由上述例題可以發現,解法1對于例題1而言是正確的,對于例題2卻是錯誤的,而解法2恰恰反過來,那到底孰是孰非呢? 仔細一看,解法1從能量守恒的角度分析,理想變壓器輸入功率等于負載消耗的功率,符合理想變壓器的特征,解法2利用的是電流與匝數成反比公式,適用于單個副線圈,不論負載是電阻、電容、電感,還是二極管都成立.

其實在副線圈空載的情況下,電流比公式并不成立,此時副線圈電流為零,但原線圈電流為只是因為自感系數比較大,所以也接近零,此時原副線圈匝數比是一個定值,電流比公式在負載電阻遠小于副線圈阻抗時成立,反觀上面例題,當電流反向時二極管電阻無窮大,電路相當于斷開,此時電流比公式不成立,通過電流的熱效應算出的副線圈電流有效值與原線圈的電流一樣不滿足和匝數成反比的關系.因此,筆者認為2020屆湖南省四校聯考這道選擇題選項B應改為0.023A.

4 小結

結合上文分析,筆者認為在含有理想二極管的變壓器電路中,計算有效值時依然嚴格遵守“三同”原則,讓交流電和直流電通過相同電阻時在相同時間內產生的熱量相同,即可視直流電數值為交流電的有效值;在此變壓器電路中,電壓比等于匝數比成立,負載功率等于變壓器原線圈功率,不等于副線圈功率,電流也不跟匝數成反比,這個與接在副線圈的負載情況有關,分析其原理涉及視在功率和功率因數等大學電磁學知識,在中學階段教學過程中可讓學生記住相關結論并懂得應用即可!