函數綜合應用三要求

◇ 湖北 徐 濤

(作者單位:湖北省谷城縣第一高級中學)

函數的綜合運用主要是指運用函數的知識、思想和方法綜合分析、解決相關數學問題.學習了函數,同學們在函數的綜合運用方面應達到哪些要求呢?

1 準確理解、熟練運用,深化函數基礎知識

函數的基礎知識也是每年高考考查的基本知識,而且往往可與其他許多知識點交會在一起綜合考查.因此,關于函數的基礎知識我們一定要引起高度重視,真正做到準確理解、熟練掌握.

例1已知y＝f(x)是偶函數,在[1,2]上單調遞減,在[2,3]上單調遞增,且當x＞0時,f(x)＝x＋若當x∈[－3,－1]時,n≤f(x)≤m 恒成立,求m－n的最小值.

又由題設及偶函數的圖象關于y 軸對稱,易知函數f(x)在[－3,－2]上單調遞減,在[－2,－1]上單調遞增.于是,當x∈[－3,－1]時,

從而,在[－3,－1]上函數f(x)的值域為[4,5].故由“當x∈[－3,－1]時,n≤f(x)≤m 恒成立”得[4,5]?[n,m],(m－n)min＝5－4＝1.

求解本題的關鍵在于將題設所給奇偶性、單調性加以靈活運用.

2 掌握研究函數的方法,提高解題能力

高中數學對函數的研究理論性加強了,對一些典型問題的研究十分重視,如求函數的定義域、確定函數的解析式、判斷函數的奇偶性、判斷或證明函數在指定區間的單調性等.

例2已知定義在R上的函數f(x)滿足:

① 對任意x,y∈R都有

② 當x＜0時,f(x)＞0,f(1)＝－2.求f(x)在[－8,8]上的最小值和最大值.

任取x1,x2∈R,且設x1＜x2,則因為x1－x2＜0,所以由條件②得f(x1－x2)＞0.

于是,由條件①可得

則f(x)在R上為減函數,從而必有f(x)在[－8,8]上也為減函數.

在條件①中,取x＝y＝0,則有f(0)＝f(0)＋f(0)?f(0)＝0;取y＝－x,則有f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x),于是,f(x)＋f(－x)＝0?f(－x)＝－f(x)?f(x)為奇函數.故函數f(x)在[－8,8]上的最大值為f(－8)＝－f(8)＝－8f(1)＝－8×(－2)＝16,最小值為f(8)＝－16.

若不明確抽象函數的性質,則應先根據題設充分挖掘隱蔽的抽象函數的性質(單調性、奇偶性、周期性等),然后再加以靈活運用.

3 抓住函數、方程、不等式之間的相互聯系

函數、方程、不等式是相互聯系的.對于函數f(x)與g(x),令f(x)＝g(x),f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x),則分別構成方程和不等式,因此對于某些方程、不等式問題用函數觀點分析是十分有益的.

例3若方程2a·9x＋4a·3x＋a－8＝0 在[－1,1]上有實數解,求實數a 的取值范圍.

“方程有實數解,求參數的取值范圍”問題,往往可通過分離參數法將問題等價轉化為求相應函數的值域問題.