判斷導數正負的幾種方法

◇ 甘肅 石剛雷

(作者單位:甘肅省寧縣第四中學)

導數法是判斷函數單調區間的重要工具,即利用定義域內導函數的正負來判斷原函數的增減性,求導后若導函數的零點易求,則其正負也易于判斷.但某些問題中導函數的零點不易求,甚至不可求.本文就給出處理這類問題的幾種方法.

1 局部分析

對于整體上無法判斷導函數正負的問題,可將其分成幾個部分,逐一分析,化整為零,各個擊破.

例1已知函數判斷f(x)在(－∞,－1),(－1,0)內的單調性.

2 二次求導

二次求導是對導函數或導函數中決定導數正負的局部函數進行求導,判斷其單調區間,求其最值,從而得出導函數的正負.

例2求函數f(x)＝xe2－x＋ex 的單調區間.

函數f(x)的定義域為R,求導得f′(x)＝(1－x)e2－x＋e＝e2－x(1－x＋ex－1).

設g(x)＝1－x＋ex－1,求導得g′(x)＝ex－1－1,令g′(x)＝0得x＝1,且在區間(－∞,1)內,g′(x)＜0,則g(x)單調遞減;在區間(1,＋∞)內,g′(x)＞0,則g(x)單調遞增.所以gmin(x)＝g(1)＝1,所以g(x)＞0,即f′(x)＞0.

綜上,f(x)的單調遞增區間為(－∞,＋∞).

3 零點觀察

對于導函數零點不易求,但可直觀觀察出零點,再對零點個數進行判定,即可解決問題.

例3求函數的單調區間.

易知當x＝1,f′(x)＝0.令g(x)＝1－lnx－x2,則所以g(x)在(0,＋∞)內,單調遞減,所以f′(x)有唯一零點x＝1,且在(0,1)內,f′(x)＞0,則f(x)單調遞增;在(1,＋∞)內,f′(x)＜0,則f(x)單調遞減.

綜上,函數f(x)的增區間為(0,1),減區間為(1,＋∞).

4 設而不求

若導函數的零點無法求解,但利用零點存在定理可判斷其存在零點,此時可利用“設而不求”法,設出零點,進而判斷零點兩側導數的正負.

例4求函數f(x)＝(2x－1)lnx＋x 的單調區間.

所以g(x)在(0,＋∞)內單調遞增.

綜上,函數f(x)的單調遞減區間為(0,x0),單調遞增區間為(x0,＋∞),其中x0∈(1,e).

綜上,本文主要針對求函數單調區間時,導函數零點不易求的問題.對于不等式證明或不等式恒成立問題,需要我們構造新函數,再求其最值.構造函數的方式不同,導函數零點求解的難度也不同,需要同學們仔細分析,靈活運用上述方法.