“以想代算”在統計問題中的應用

◇ 福建 林紅紅

(作者單位:福建省龍巖市第二中學)

利用樣本數據估計總體的數字特征是統計學的重要應用.數字特征主要包括平均數、中位數、眾數、方差、標準差等,這些數字特征雖然都有相應的計算方法,但有些問題的求解中只要求我們比較某兩個量的大小,或其在統計圖表中的位置,因此這些量是不需要計算的.只要我們能把握相應數字特征的具體含義,便可以想代算,簡捷處理.

1 準確利用數字特征的含義

例1某影視公司推出了一部影片,為了解觀眾對該影片的滿意度,從甲、乙兩地分別隨機調查了100位觀眾,根據觀眾對該影片的滿意度評分,分別得到兩地觀眾滿意度評分的頻率分布直方圖(如圖1).

圖1

若甲、乙兩地觀眾滿意度評分的中位數分別為m1,m2,標準差分別為s1,s2,則下面所給關系中正確的是( ).

A.m1＞m2,s1＞s2B.m1＞m2,s1＜s2

C.m1＜m2,s1＜s2D.m1＜m2,s1＞s2

首先要明確數字特征的具體含義.中位數,即數據的中間數,是衡量集中趨勢的一種方法.標準差,方差的平方根,能反映數據的離散程度.

本例以頻率分布直方圖為背景,中位數左、右兩側直方圖的面積相等.故觀察兩圖可知,m1在60～70之間,m2在70～80之間,所以m1＜m2.從圖容易看出,甲地區數據的離散程度大于乙地區數據的離散程度,所以s1＞s2.故選D.

2 深度挖掘數字特征的本質

例2某網上商城對某時間在該網站購物的顧客中隨機抽取10000名進行統計調查,將這10000名顧客按年齡分成5組,即[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],并整理得到頻率分布直方圖(如圖2所示).

圖2

(1)求a 的值;

(2)估計該時間在該商城網絡購物顧客的平均年齡.

(1)a＝0.035(求解過程略).

(2)根據題意,平均年齡估計為15×0.1＋25×0.35＋35×0.3＋45×0.2＋55×0.005＝32.5(歲).

3 巧妙借助數字特征間的關系

圖3

例3據研究得出,空氣的相對濕度較大或較小時,都有利于某種細菌的繁殖、傳播.經科學測定,在相對濕度大于65%或小于40% 時,該 細 菌繁殖滋生較快,當相對濕度在45% ～ 55% 時,該細菌死亡較快.現根據部分城市空氣月平均相對濕度的300個數據,得到如圖3所示的統計圖(其中為了記錄方便,將空氣相對濕度在a%～b%時記為區間[a,b)).若同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替,則估計樣本中空氣月平均相對濕度的平均數所在的區間為________.

求樣本的平均值時,若數據中含有極端值,則平均數并不能準確反映樣本的平均水平,而中位數可以起到反應平均水平的作用.因此,為了簡化計算,可用中位數的值來代替平均值.采用這種方法可知,相對濕度的平均數所在的區間為[65,75).