“橢圓”的高頻考點例析

◇ 甘肅 何慧嫻

(作者單位:甘肅省甘谷縣第二中學)

橢圓問題可以很好地考查學生數學運算能力、邏輯推理能力、數形結合思想、函數與方程思想以及化歸與轉化思想,同時,能考查考生的綜合思維能力,具有很好的選拔功能,因此在高考和其他各類考試中備受命題專家的青睞.本文擬通過歸類舉例的形式,具體說明“橢圓”的高頻考點,旨在幫助同學們厘清常用解題思維,提高處理有關橢圓問題的能力.

1 考查與焦點有關的最值問題

處理橢圓中與“焦點”有關的最值問題時,往往需要緊扣橢圓的“定義”和“圖形”,靈活分析.這類問題側重考查轉化思想與數形結合思想在解題中的綜合運用.

例1已知是橢圓內的點,M 是橢圓上的動點,則|MA|＋|MB|的最大值是________.

圖1

如圖1 所示,易知點A 恰好為橢圓的右焦點,設左焦點為F(－4,0),連接BF,由橢圓的定義知|MA|＋|MB|＝2a ＋|MB|－|MF|.又易知當點M,B,F 在同一條直線上(且點M 在線段BF 的延長線上),即點M 與點M′重合時,|MB|－|MF|取得最大值,故|MA|＋|MB|的最大值是|M′A|＋|M′B|＝(|M′A|＋|M′F|)＋|FB|＝2×5＋2＝12.

2 考查求解橢圓的離心率

2)方程法:根據條件先得到關于a,b,c 的齊次等式,再結合b2＝a2－c2轉化為關于a,c 的齊次式,然后將齊次式兩邊同除以a 或a2可轉化為關于e 或e2的等式,最后通過解方程即可求得e 的值.

例2橢圓的左、右焦點分別為F1,F2,焦距為2c,若直線與橢圓Γ 的一個交點M 滿足∠MF1F2＝2∠MF2F2,則該橢圓的離心率等于________.

3 考查 “設而不求”解題策略的應用

直線與橢圓的最值、定值、定點問題是高頻考點,需要運用“設而不求”技巧以及相關解析幾何知識加以靈活求解,同時,需要關注“數形結合”“分類與整合”“等價轉化”等思想在解題中的靈活運用.

例3從圓O:x2＋y2＝5上任意一點P 作橢圓的兩條切線,切點為A,B,試探究∠APB 的大小是否為定值.若是定值,求出這個定值;若不是請說明理由.

當兩切線之一的斜率不存在時,根據對稱性,設點P 在第一象限,則此時點P 的橫坐標為代入圓的方程得點P 的縱坐標為此時兩條切線方程分別為

總之,關注“橢圓”的高頻考點,有利于鞏固所學知識、方法在解題中的靈活運用能力,有利于提升直觀想象、數學運算以及邏輯推理等核心素養.