空間向量中的幾個常用規律及其應用

◇ 甘肅 馬俊杰

(作者單位:甘肅省臨夏回民中學)

分析、解決有關立體幾何問題時,往往會涉及空間向量知識在解題中的活用,而空間向量中又存在較強的規律,所以教師很有必要厘清常用規律,以便提高學生解題的速度和準確性.

常用規律1設空間向量a＝(x1,y1,z1),b＝(x2,y2,z2),則a⊥b?a·b＝0 ?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.

例1如圖1所示,在空間直角坐標系O-xyz 中有棱長為2的正方體ABCD-A′B′C′D′,E,F 分別為面對角線A′B,A′D 的中點,求證

圖1

借助空間向量的坐標運算,我們可以迅速求解兩個空間向量的數量積和夾角,當然,也可以證明兩個空間向量互相垂直.

例2已知A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),點Q 在直線OP 上運動,其中O 為坐標原點.當取得最小值時,求點Q 的坐標.

綜上所述,求證結論成立.

例3已知點P,A,B,C 共面,點O 不在該平面內,Sn是等差數列{an}的前n 項和,且滿足則S2020的值為( ).

A.2018 B.2019 C.2020 D.2021

本題具有一定的綜合性,著重考查空間四點共面的充要條件及等差數列特性的靈活、綜合運用.

牛刀小試1已知平面α 經過三點A,B,C,且向量其中O 為坐標原點,求平面α 的一個法向量.

牛刀小試2已知向量a＝(2x,1,3),b＝(1,－2y,9),若a 與b 為共線向量,則( ).

因為a 與b 為共線向量,所以存在λ∈R,使a＝λb,即(2x,1,3)＝λ(1,－2y,9),所以2x＝λ,1＝－2λy,3＝9λ,解得故選C.

綜上,關注空間向量中的常用規律及其應用,能夠幫助我們進一步加深對所學空間向量知識的深入理解,能夠較好地拓寬思維視野,進而提升數學核心素養.