例談數列常見問題的解答

◇ 廣西 梁志紅

(作者單位:廣西貴港市港南中學)

數列是高中數學的重點和難點,以抽象著稱,相關習題難度較大.教學中為提高學生的解題能力,使其掌握數列常見問題的解答方法,有必要為學生展示常見問題的解題過程,以提高學生認識,對其解答類似問題以啟發.其中遞推問題、最值問題、存在性問題是數列的常見問題,本文圍繞具體例題進行闡述.

1 遞推問題

遞推問題是數列的常見問題,對學生的邏輯思維能力要求較高.解答該類習題時應注重遞推的嚴謹性、合理性,即認真審題,深入理解題干中的已知條件,找到遞推的突破口.同時,遞推的過程中應注重靈活運用所學的數列知識,保證每一步的推理都有理有據.

例1已知{an}滿足

(1)求a1的取值范圍,使得數列{an}為常數列;

(2)求a1的取值范圍,使得an＋1＞an對任意的自然數n 均成立;

(3)若a1＝4,bn＝|an＋1－an|(n＝1,2,3,…),Sn為數列{bn}的前n 項和,證明

(3)由(2)可知a1＝4時,an＋1＜an對任意的自然數n 均成立,即an＋1－an＜0,則

2 最值問題

最值問題在數列習題中較為常見.解答該類問題思路較多,其一,可利用數列的遞推關系,找到數列的最值;其二,因為數列是特殊的函數,所以可借助函數單調性分析出數列的最值;其三,部分習題可運用不等式知識進行解答.究竟采用哪一種思路,需要學生視情況而定,靈活選擇.

例2已知數列{an}中(n∈N?),數列{bn}的前n 項和N?).

(1)求數列{an}和{bn}的通項公式;

3 存在性問題

數列的存在性問題常和數列的性質聯系在一起.該類問題一般涉及多個小問,解答該類習題應注重應用上個小問的結論進行推導,以構建參數之間的關系.同時,注重挖掘題干中的隱含條件,以做出正確的判斷,如數列中的n 為正整數,解題時應根據得出的結論合理取舍.

例3等比數列{cn}滿足cn＋1＋cn＝10·4n－1(n∈N?),數列{an}滿足cn＝2an.

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)數列{bn}滿足為其前n 項和,求

(3)是否存在正整數m,n(1＜m ＜n),使得T1,Tm,Tn為等比數列,若存在,求出m,n 的值,若不存在,請說明理由.

(1)因為cn＋1＋cn＝10·4n－1,所以c1＋c2＝10,c2＋c3＝40,易求得公比q＝4,c1＝2,則cn＝2·4n－1,又因為cn＝2an,則an＝2n－1.

數列教學中,為使學生掌握常見問題的解答思路,教師既要做好例題的篩選與講解,又要鼓勵學生多進行總結與反思,爭取將各種問題的解答思路搞清楚,將其內化為自己的知識.同時,在平時的訓練中多加應用、不斷鞏固,爭取達到融會貫通、靈活應用.