巧借聯(lián)想法破解數(shù)學問題

◇ 山東 龍鳴雁

(作者單位:山東省榮成市第三中學)

聯(lián)想是一種重要的思維方式.在數(shù)學學習中,通過聯(lián)想不僅能構(gòu)建系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò),而且能在解題中及時找到思路,將其運用于高中數(shù)學解題中,有助于攻克有難度的習題,提高解題效率.

1 接近聯(lián)想

為使學生靈活運用接近聯(lián)想解答數(shù)學習題,教師在課堂上要多給予學生引導,使其在學習新知識時積極聯(lián)想與之相似的知識點,構(gòu)建系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)體系.通過相關(guān)例題的講解,提高學生運用接近聯(lián)想解題的意識,養(yǎng)成運用接近聯(lián)想解題的良好習慣.

例1已知函數(shù)f(x)是定義在R 上的奇函數(shù),當x＜0時,f(x)＝(x＋1)ex,則對任意的m∈R,函數(shù)F(x)＝f(f(x))－m 的零點個數(shù)至多有( ).

A.3個 B.4個 C.6個 D.9個

本題要求函數(shù)的零點個數(shù),根據(jù)經(jīng)驗可運用接近聯(lián)想,考慮函數(shù)圖象的交點并進行解答.根據(jù)已知條件,當x＜0 時,f(x)＝(x＋1)ex,則f′(x)＝(x＋2)ex,當x＜－2時,f′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減;在－2＜x＜0時f′(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增.且x→0時,f(x)→1.

又因f(x)為奇函數(shù),f(0)＝0,當x＜－1 時,f(x)＜0,繪制f(x)的圖象,如圖1.設(shè)t＝f(x),則f(t)＝m.由圖象可知,當－1＜t＜1,方程f(x)＝t至多有3個根.當t?(－1,1),方程無實根.

對于任意的m∈R,方程f(t)＝m 至多有1 個根,因此,滿足題意的零點個數(shù)至多有3個,故選A.

圖1

2 類似聯(lián)想

類似聯(lián)想顧名思義指由一個事物想到與之具有相同之處的事物.運用類似聯(lián)想可解答高中數(shù)學中一些較為新穎的題目.這類新穎的習題,在解題思路上與學生所學的常規(guī)解題思路較為類似,因此遇到這類問題時應(yīng)引導學生仔細閱讀題干,運用類似聯(lián)想積極回顧所學的解題方法,實現(xiàn)順利解題.

例 2對 于 數(shù) 列 {an},定 義 Hn＝的“優(yōu)值”.如果某數(shù)列{an}的“優(yōu)值”Hn＝2n＋1,記數(shù)列{an－kn}的前n 項和為Sn,若Sn≤S5對任意的n(n∈N?)恒成立,則k的取值范圍為________.

由給出的新定義,可類似聯(lián)想數(shù)列中an＝Sn－Sn－1求出數(shù)列{an}的通項公式,即由

①－②得an＝2n＋2(n≥2),當n＝1,a1＝4時符合上式,則an－kn＝(2－k)·n＋2,又Sn≤S5,則a5≥0,a6≤0,解得即k 的取值范圍為

3 對比聯(lián)想

對比聯(lián)想指對于性質(zhì)特點相反的事物的聯(lián)想,借助對比聯(lián)想進行解題,不僅有助于理解題意,而且能顯著提高解題效率.

例3從4臺甲型和5臺乙型計算機中,任取3臺,其中至少要有甲型與乙型計算機各1臺,則不同的取法有( )種.

A.140 B.80 C.70 D.35

解答本題時,如果從常規(guī)角度進行分析不易理解,求解難度較大,因此,可運用對比聯(lián)想,從問題的反面進行思考.題干中“至少要有甲型與乙型計算機各1臺”的反面為“只取一種型號的計算機”.其中總的取法有種,只取甲型計算機的方法有種,只取乙型計算機的方法有種,因此滿足題意的取法有種,故選C.

聯(lián)想法是一種重要的解題方法,包括接近聯(lián)想、類似聯(lián)想、對比聯(lián)想等.教學中,為使學生借助聯(lián)想法迅速找到解題思路、提高解題效率,需要為學生講解聯(lián)想法在解題中的具體運用,使學生積累相關(guān)的運用經(jīng)驗,掌握聯(lián)想法的適用題型,根據(jù)題干創(chuàng)設(shè)的具體情境加以靈活運用.