基于加權(quán)馬爾可夫鏈修正的ARIMA預(yù)測模型的研究

鄭 卓 曹 輝 高鶴元 劉如磊

(大連海事大學(xué)輪機(jī)工程學(xué)院 遼寧 大連 116026)

0 引 言

船舶主海水系統(tǒng)的正常運(yùn)行，為船舶動(dòng)力裝置提供了充分的冷卻條件，為船舶正常航行提供了保障。由于主海水系統(tǒng)直接連通舷外，工作環(huán)境惡劣，若能夠根據(jù)海水系統(tǒng)中某些典型參數(shù)的變化進(jìn)行有效分析預(yù)測，做到將事后維修轉(zhuǎn)化為視情維修，對于使主海水冷卻系統(tǒng)時(shí)刻處在一個(gè)正常運(yùn)行狀態(tài)以及延長設(shè)備使用壽命，具有重要意義。

目前，在工程上現(xiàn)有的方法主要分為兩類：單一模型預(yù)測法和組合模型預(yù)測法。單一預(yù)測模型主要有：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[1]，灰色預(yù)測法[2]，回歸預(yù)測法[3]，時(shí)間序列法[4]。但是，單一模型在處理非線性、非平穩(wěn)的時(shí)間序列上存在一定的不穩(wěn)定性和局限性[5]。因此，目前組合模型預(yù)測法更為常見。徐夢茹等[6]在對地區(qū)降雨量的預(yù)測中提出馬爾可夫與ARIMA組合模型，該模型雖然綜合了兩個(gè)模型的優(yōu)點(diǎn)，但在模型組合時(shí)忽略了組合權(quán)重的確定對預(yù)測精度的影響。孫堂樂等[7]在對太陽黑子月均值預(yù)測中，提出將原始序列分解為若干子序列，對子序列分別建模預(yù)測并疊加重構(gòu)。該方法由于會(huì)因?yàn)榉纸馑惴ǖ墓逃腥毕荩瑢?dǎo)致高頻分量的非線性和非穩(wěn)定性仍然較高。

本文提出一種采用加權(quán)馬爾可夫鏈修正殘差的ARIMA預(yù)測模型的組合模型。首先建立ARIMA模型對原始序列預(yù)測。ARIMA模型雖然能較好地反映序列的隨機(jī)波動(dòng)性，但會(huì)因?yàn)椴罘值倪^程導(dǎo)致信息丟失、精度降低的問題，因此，再結(jié)合加權(quán)馬爾可夫鏈對預(yù)測殘差進(jìn)行修正。馬爾可夫鏈適合描述隨機(jī)波動(dòng)性大的變量的預(yù)測問題，常被用于預(yù)測模型的殘差修正過程中，在風(fēng)力發(fā)電、降水量等預(yù)測中都取得了明顯成效[8]。與單一ARIMA模型進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明本文提出的預(yù)測模型精度更高，實(shí)用性更強(qiáng)。

1 模型簡介

1.1 ARIMA模型

ARIMA模型的主要思想就是將所得的時(shí)間序列視為一個(gè)隨機(jī)序列，然后用一個(gè)數(shù)學(xué)模型來近似地描述它。ARIMA模型通過將非平穩(wěn)時(shí)間序列經(jīng)過d次差分轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的時(shí)間序列進(jìn)行分析。

ARIMA(p,d,q)模型公式如下：

yt=θ0+φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+

εt-θ1εt-1-θ2εt-2-…-θqεt-q

(1)

式中：p為自回歸模型階數(shù)；q為滑動(dòng)平均模型的階數(shù)；d為差分次數(shù)；φi(i=1,2,…,p)、θj(j=1,2,…,q)為模型的待定系數(shù)；εt為t時(shí)刻的殘差；yt為觀測值。

1.2 加權(quán)馬爾可夫鏈模型

加權(quán)馬爾可夫鏈模型的主要思想是將一列相依的隨機(jī)序列，經(jīng)馬氏檢驗(yàn)后，用相關(guān)的各階(各種步長)確定的加權(quán)馬爾可夫鏈來預(yù)測未來值。

計(jì)算各階自相關(guān)系數(shù)rk：

(2)

對各階自相關(guān)系數(shù)規(guī)范化：

(3)

式中：wk為各步長的馬爾可夫鏈的權(quán)重；m為按預(yù)測需要計(jì)算到的最大階數(shù)。

結(jié)合式(2)、式(3)將同一狀態(tài)的各預(yù)測概率加權(quán)和作為該狀態(tài)的預(yù)測概率pi，即：

(4)

1.3 加權(quán)馬爾可夫鏈修正的ARIMA模型

加權(quán)馬爾可夫鏈修正的ARIMA預(yù)測模型的流程如圖1所示。

圖1 加權(quán)馬爾可夫鏈修正的ARIMA模型預(yù)測流程圖

以ARIMA模型作為組合模型預(yù)測的第一部分，加權(quán)馬爾可夫預(yù)測模型為第二部分。ARIMA作為對獲取狀態(tài)參數(shù)序列的預(yù)測，然后獲取預(yù)測序列的已知序列部分的殘差序列，用加權(quán)馬爾可夫預(yù)測模型預(yù)測殘差。最后用殘差序列修正與其對應(yīng)的參數(shù)序列，得到更為準(zhǔn)確的預(yù)測值。

2 算例分析

2.1 問題描述與分析

如圖2所示，在船舶海水系統(tǒng)中，大部分故障都會(huì)轉(zhuǎn)移到中央冷卻器的換熱問題上，如海底門濾器臟堵、海水泵故障、海水管路有滲漏等會(huì)導(dǎo)致中央冷卻器內(nèi)的海水量不足，而不變量的低溫淡水換熱會(huì)使中央冷卻器內(nèi)的海水溫度升高進(jìn)而使船舶海水出口溫度升高，若中央冷卻器換熱海水側(cè)結(jié)垢，引起換熱不足，會(huì)使船舶海水出口溫度降低至正常溫度以下。所以在監(jiān)測船舶海水系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，海水出口溫度是一項(xiàng)重要監(jiān)測指標(biāo)。本文以預(yù)測“育鯤”輪海水出口溫度為具體研究實(shí)例展開分析。

圖2 “育鯤”輪海水系統(tǒng)圖

2.2 數(shù)據(jù)獲取

本文選取了“育鯤”輪在某航次航行時(shí)海水出口溫度的數(shù)據(jù)。具體采集方式為每2小時(shí)獲取一次參數(shù)數(shù)據(jù)，共采集了6天的數(shù)據(jù)即72組數(shù)據(jù)，取前5天即60組數(shù)據(jù)作為模型的輸入，用于建立預(yù)測模型的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，根據(jù)這60組數(shù)據(jù)進(jìn)行建模并預(yù)測，后12組數(shù)據(jù)作為預(yù)測結(jié)果的驗(yàn)證數(shù)據(jù)[9]。如果進(jìn)行長期的故障預(yù)測，隨著時(shí)間的流逝，為了保證模型的準(zhǔn)確性，可采取采集的數(shù)據(jù)順次更迭的方式，使每次建模時(shí)數(shù)據(jù)總能保持72組數(shù)據(jù)。

2.3 ARIMA模型預(yù)測

(1)數(shù)據(jù)預(yù)處理。針對這6天的海水出口溫度歷史數(shù)據(jù)，取前5天歷史數(shù)據(jù)作為建模的基本數(shù)據(jù)，并繪制中央冷卻器海水出口溫度T曲線圖，如圖3所示。

圖3 中央冷卻器海水出口溫度圖

可以看出，海水出口溫度曲線呈由平穩(wěn)到逐漸上升趨勢。顯然這組參數(shù)序列是不平穩(wěn)的，所以應(yīng)選用ARIMA模型進(jìn)行建模，首先進(jìn)行平穩(wěn)化處理，即差分次數(shù)的確定。中央冷卻器海水出口溫度T經(jīng)差分平穩(wěn)化處理后如圖4所示。

圖4 中央冷卻器海水出口溫度1階差分圖

(2)模型識別。經(jīng)過時(shí)間序列的平穩(wěn)化處理和ADF檢驗(yàn)之后，在MATLAB中使用autocorr和parcorr函數(shù)得出序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，如圖5、圖6所示。

圖5 樣本自相關(guān)函數(shù)圖

圖6 樣本偏自相關(guān)函數(shù)圖

圖5、圖6顯示自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)均拖尾，可以確定該模型應(yīng)該為ARIMA(p,q)模型。在自相關(guān)圖中，1階和3階的函數(shù)值可視為顯著不為0，說明q可以取到3階，同理在偏自相關(guān)圖中，1階和2階的函數(shù)值顯著不為0，說明p可以取到2。

由于僅依靠相關(guān)系數(shù)圖判斷模型的階數(shù)具有一定的主觀性，本文結(jié)合AIC(Akaike Information Criterion)、SC(Schwarz Criterion)信息準(zhǔn)則進(jìn)行了誤差分析，選出最優(yōu)模型ARIMA(2，1，3)，如表1所示。

表1 模型檢驗(yàn)結(jié)果

(3)模型預(yù)測。將最優(yōu)模型在Eviews軟件中采用最小二乘法進(jìn)行擬合預(yù)測得到接下來的12期數(shù)據(jù)。

2.4 加權(quán)馬爾可夫模型預(yù)測

(1)馬氏檢驗(yàn)。檢驗(yàn)隨機(jī)序列是否具有“馬氏性”是應(yīng)用馬爾可夫鏈解決實(shí)際問題的重要條件，忽略“馬氏性”的檢驗(yàn)是不科學(xué)的，也是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

計(jì)算殘差序列Z的均值近似為0和均方差S近似為0.5。根據(jù)均值-均方差將序列劃分為6個(gè)狀態(tài)，如表2所示。

表2 殘差狀態(tài)等級劃分

因此，可以得到殘差序列中從狀態(tài)i經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移達(dá)到狀態(tài)j的頻數(shù)矩陣fij。

一步轉(zhuǎn)移矩陣為：

表3 統(tǒng)計(jì)量計(jì)算表

(2)模型預(yù)測。在MATLAB中根據(jù)式(2)、式(3)可以計(jì)算出規(guī)范化后的各種步長的馬爾可夫鏈權(quán)重，根據(jù)第1期到第60期樣本序列的殘差序列分別預(yù)測第61期到第72期殘差序列，以預(yù)測第61期為例，如表4所示。

表4 第61期殘差狀態(tài)預(yù)測

可以看出，Pi=2.05對應(yīng)的狀態(tài)為4，由于預(yù)測的需求，需要將加權(quán)馬爾可夫預(yù)測的狀態(tài)值轉(zhuǎn)化為具體數(shù)值，夏樂天[10]認(rèn)為可以采用隨機(jī)數(shù)學(xué)或模糊數(shù)學(xué)的方法予以推斷，例如采用狀態(tài)特征值結(jié)合線性插值法進(jìn)行推斷。

計(jì)算狀態(tài)特征值公式為：

(5)

(6)

式中：

本例中，β取1.1，根據(jù)式(5)可以算出μ為4.728。用式(6)可得61期殘差預(yù)測值：

同理剩下的11期殘差值根據(jù)同樣的方法預(yù)測，但是為了保證實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性與時(shí)效性，每預(yù)測出新一期的數(shù)據(jù)就要替換掉一期的樣本數(shù)據(jù)，從第1期開始。

2.5 加權(quán)馬爾可夫模型修正ARIMA模型

因?yàn)锳RIMA模型較為簡單，只需內(nèi)生變量而不需要其他外生變量，其實(shí)本質(zhì)上只能預(yù)測線性關(guān)系，不能預(yù)測非線性關(guān)系[11]，單一模型預(yù)測會(huì)存在誤差，所以采用馬爾可夫模型預(yù)測的殘差修正ARIMA模型：

Tt=yt+x

(7)

根據(jù)式(7)可繪制修正后的預(yù)測值、ARIMA模型的預(yù)測值和真實(shí)值的曲線擬合如圖7所示。

圖7 擬合曲線圖

可以看出，被修正的預(yù)測值每一期都比ARIMA模型預(yù)測值更接近真實(shí)值。為了更明顯地看出修正模型較ARIMA模型預(yù)測的精度更高，本文分別計(jì)算了兩個(gè)模型預(yù)測的平均相對誤差，如表5所示。

表5 模型誤差對比 %

可以看出，被修正模型的相對誤差對比單一ARIMA模型相對誤差大大降低，平均降低19%。隨著預(yù)測期數(shù)的增加，加權(quán)馬爾可夫?qū)τ谀Ｐ托拚男Ч仓饾u降低，但是整體模型的預(yù)測精度還是達(dá)到了一個(gè)比較好的效果，所以在預(yù)測時(shí)并不是預(yù)測期數(shù)可以無限長，需要選取適當(dāng)?shù)念A(yù)測期數(shù)，才能達(dá)到理想的效果。

3 結(jié) 語

本文分別采用加權(quán)馬爾可夫殘差修正的ARIMA模型與單一ARIMA對“育鯤”輪海水出口溫度進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果顯示加權(quán)馬爾可夫鏈修正的ARIMA模型達(dá)到了更好的預(yù)測效果，對于12期的預(yù)測數(shù)據(jù)，在精度上有顯著提升。該模型對海水出口溫度預(yù)測精度的提高，為早日做到將事后維修轉(zhuǎn)化為視情維修奠定了基礎(chǔ)，同樣也對船舶其他系統(tǒng)及設(shè)備故障預(yù)測方面提供很好的借鑒。