降低SRM轉矩脈動的離線轉矩分配函數研究

黃朝志 王 濤 屈資喻 劉細平

(江西理工大學電氣工程與自動化學院 江西 贛州 341000)

0 引 言

開關磁阻電機由于其結構簡單、成本較低、性能好等一系列優點，自問世以來受到國內外科研學者的廣泛關注[1]。但是由于其固有的雙凸極結構和非線性系統，導致其轉矩脈動要比其他傳動系統嚴重。此外，SRM的轉矩脈動不僅是其噪聲和振動的來源，也是電機驅動器上的擾動源[2]。

通常來說，抑制轉矩脈動的方法主要包括優化電機的本體結構參數[3]和采用高級控制策略，如直接轉矩控制[4]、自適應控制[5]和轉矩分配函數控制(Torque Sharing Function, TSF)[6-8]等。離線轉矩函數控制大多是在傳統TSF的基礎上采用兩個以下的優化目標。文獻[5]運用Tikhonov因子與轉矩分配函數相結合，得出以銅耗和電流變化率為目標的優化函數，有效降低了轉矩脈動和電流峰值，但由于其引入較寬的負轉矩產生區域從而降低了電機的運行效率。文獻[9]驗證了導通角和重疊角對SRM的最大速度、銅耗和效率的顯著影響，此外通過遺傳算法對傳統四種轉矩分配函數的導通角和重疊角進行優化，降低了轉矩脈動。文獻[10]提出了一種新型的將轉矩波形轉化為電流波形的ik(θ,Tk)解析表達式，通過改變表達式中的參數對磁鏈變化率和銅耗進行比較，從中選擇拓展速度范圍或降低銅耗的轉矩分配函數。

本文提出了一種在寬速范圍內降低SRM轉矩脈動的離線轉矩分配控制方案。由SRM的電感-轉矩特性，通過可逆轉矩函數模型提出的兩個關于轉子位置的函數，將參考轉矩轉化為參考電流以實現良好的跟蹤特性。將電流的平方(銅耗)和磁鏈變化率與Tikhonov因子相結合構造目標優化函數，通過效率和轉矩速度性能之間的平衡選擇，運用遺傳算法進行優化，得出特定Tikhonov因子的離線轉矩分配函數曲線。通過場路耦合仿真驗證，與傳統的線型、立方型轉矩分配控制相比，本文提出的離線轉矩分配控制策略能有效提升轉矩-速度性能，降低轉矩脈動。

1 轉矩分配控制策略

1.1 SRM的電感模型分析

由于開關磁阻電機的雙凸極定轉子結構以及互磁易飽和的特點，大多數SRM的建模分析的基本目的是找出磁鏈、轉子位置角和相電流之間的關系。如果電流ik和位置角θ被選定為獨立變量，那么磁鏈ψk通常被定義為：

ψk(θ,ik)=Lk(θ,ik)ik

(1)

式中：Lk表示為相電感。但事實上電感Lk不僅和相電流ik有關，也與轉子位置角θ有關。對于所研究的12/8極開關磁阻電機，借助Maxwell-19.3軟件進行有限元分析，定子外徑120 mm，定子內徑69.6 mm，鐵芯材料DW360-50，電機功率1.2 kW。通過有限元分析，得到在相電流分別為1、2、3、4、5、6、7、10 A時，相電感Lk在不同轉子位置角θ下的值，如圖1所示。

圖1 SRM的電感曲線

圖2 電感相對于轉子位置的變化率曲線

由式(1)可知，電感L取決于電流ik和位置角θ。當磁鏈不飽和時，SRM在小電流下的電感L主要受位置角θ的影響，結合式(1)可得：

(2)

式中：Tk(θ,ik)為導通相的相轉矩；Wc(θ,ik)為繞組的磁功能；電感值L關于θ的微分函數值的2倍定義為Lp(θ)。

1.2 SRM的轉矩控制

圖3所示為基于TSF實現三相SRM驅動的轉矩控制原理圖。將速度環輸出的總參考轉矩Te-ref根據轉子位置角θ劃分為各階段的單相參考轉矩Tk-ref。通過T-θ-i，即“轉矩-位置-電流”模塊把單相參考轉矩值轉換為參考電流ik-ref，與實際相電流ik比較后，經過滯環比較器進行調節控制。

圖3 基于轉矩分配函數的SRM控制系統框圖

為了最大限度降低轉矩脈動，常用的轉矩分配函數通常選擇線型、正弦函數型、指數型或立方型。在換相過程中，每相的參考轉矩Tk-ref的函數被定義為：

(3)

θoff=θon+ε

(4)

(5)

1.3 TSF的評估指標

為了評估轉矩分配函數的轉矩-速度性能、SRM的效率和轉矩脈動率，定義如下判定指標。

1)轉子位置的磁鏈變化率。磁鏈相對于轉子位置的變化率(ARCFL)是評估SRM的轉矩-性能的一個重要標準，其值Qψ的表達式如下：

(6)

式中：ψrise為導通相第k相得上升磁鏈；ψfall為前一相第k-1相的下降磁鏈。

不考慮磁鏈耦合和相位壓降的情況下，可由SRM的電壓公式推導出公式如下：

(7)

(8)

2)銅耗。銅耗是影響電機效率的重要因素之一。銅耗可以用電流在導通期間的均方根值，即用有效值Irms來表示：

(9)

3)轉矩脈動率。與式(11)的分析方法類似，本文定義一種計算瞬時轉矩脈動平均值的方法如下：

(10)

1.4 可逆轉矩函數模型

(11)

式中：Lp(θ)已知；g(θ)也是關于轉子位置的函數：

(12)

(13)

在不同轉子位置θ和電流ik下，通過式(13)計算的參考轉矩值與Maxwell有限元仿真得到的參考轉矩擬合曲線如圖4所示。可以看出，該可逆轉矩函數的擬合度較高，同時適用于線性磁鏈區域和飽和磁鏈區域。

圖4 有限元仿真的參考轉矩曲線

2 基于遺傳算法優化的TSF

2.1 基于Tikhonov因子目標函數

由式(8)可知，為了最大限度地提升SRM的寬速范圍，應最小化磁鏈變化率的值。因此本文采用以參考電流及其微分值的平方與Tikhonov因子相結合的方法構造新型目標函數如下：

(14)

s.t. 0≤ik-1≤Imax;0≤ik≤Imax

Tk-1(θ,ik-1)+Tk(θ,ik)=Te

式中：m、n、p、q為Tikhonov因子；ik-1(θ)、ik(θ)表示當前轉子位置角θ下前一相與后一相的電流值；電流變化步長和位置變化步長為Δik=ik(θ)-ik(θ0)，Δθ=θ-θ0，θ0表示前一時刻的轉子位置角，ik-1(θ0)、ik(θ0)為該時刻相鄰兩相的電流值。

為了解決式(14)中的優化問題，需要確定Tikhonov因子m、n、p、q的值。Tikhonov因子的大小表明該目標函數的重要性，其值越大則對結果的影響也就越大。為了簡化分析，以避免復雜的公式推導，將當前相的參考電流作為基準值，即令d=1；然后考慮在導通和關斷階段，磁鏈變化率對電流有效值，即銅耗的影響程度，定義如下：

(15)

事實上，導通角和關斷角的取值都會對磁鏈的變化率產生重要影響[9]。經過在不同θon、θoff和θov下，直線型和立方型TSF的仿真比較得知，線型TSF的磁鏈變化率大于立方型TSF。以θon、θoff和θov分別為4.5°、19.5°和3°，負載轉矩為1 Nm為例，圖5給出了參考轉矩以及磁鏈變化率的曲線波形。

圖5 參考轉矩、磁鏈和磁鏈變化率曲線

J=r(ik(θ)2+sik-1(θ)2)

(16)

式中：r可以調整，以平衡銅耗損失和轉矩脈動率。由圖(2)可知，在導通初始階段，電感變化率較小，因此需要更高的相電流以達到參考轉矩值。r值較小時強調轉矩脈動率，k-1相的電流有效值Irms會增大，且轉子達到對其位置后剩余的磁共能就會產生負轉矩而降低電機的效率；而r值增大時，則強調銅損耗，k相電流值增大導致轉矩脈動率的上升。設定r取值范圍為0.25～1時的優化效果如圖6所示，從上到下的曲線簇中，各曲線r的取值分別為1、0.75、0.5和0.25。

圖6 不同Tikhonov因子下的優化效果

當r=1時，這與傳統TSF的控制效果類似，在每一相導通初期，相電流ik急劇上升并產生峰值。r取值越小，導通初期被分配的轉矩越小，關斷階段被分配的轉矩也就越大，進而控制了導通初期和關斷階段的瞬時電流變化率。

由圖5和圖6可知，在SRM整個運行階段，關斷階段的磁鏈變化率的絕對值是最大的，根據式(8)，最大TRFS也就由關斷階段的磁鏈變化率決定。在參考轉矩為1 Nm時，直線型、立方型及r取0.5時優化TSF的最大磁鏈變化率分別為12.6、6.4 和1.2 Wb/rad，可得最大TRFS為17.5、31.3和166.7 rad/s，因此直線型、立方型的最大TRFS為167.1、298.9 r/min，而優化TSF在r=0.5時的TRFS可達到1 591.9 r/min，明顯提高了SRM的速度性能。

該算法可應用于任何SRM的設計，以獲得更好的轉矩脈動性能。在寬速范圍內，可以調整式(16)中的r值以增加選擇的靈活性。通過選擇合適的Tikhonov因子可以增加重疊區域，減小電流變化率，如圖5所示。優化后的TSF比傳統TSF的磁鏈(電流)變化要平穩得多，最大磁鏈變化也明顯降低了。

2.2 遺傳算法

隨著轉速的升高，由于勵磁周期的縮短以及感應電壓的影響，選擇合適的r值以實現保持最小銅耗和減少轉矩脈動率的平衡愈發困難。遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)是借鑒遺傳進化和自然選擇的思想和發展機制的一種直接搜索算法，它從隨機創造種群開始，通過不斷重復地評估、選擇、交叉和突變，直到達到預定的世代數或者找到滿意的解決方案[12-13]。因此，對于單目標優化參數的式(16)來說，遺傳算法可以得到更精確的r值。

在執行基于GA的算法之前，需要進行適當的編碼，根據搜索范圍，設置精度為e-4，得到10位數的二進制編碼。種群大小和迭代次數都設為50，如果后代的輸出參數的值不符合約束范圍0～1，則拋棄該數值。由于目標函數是求相電流平方以及電流相對于轉子位置倒數平方的最小值，因此定義適應度函數如下：

(17)

式中：Xi表示種群中第i個個體，其自適應函數值越大，表明個體的適應度越好。

選擇操作采用輪盤賭[13]選擇法，其目的是產生更多的后代，通過個體的適應度值與種群的總適應度值之比來計算個體i能遺傳到下一代的概率：

(18)

式中：F(Xi)、P(Xi)和N表示為個體的適應度值、被選擇的概率和種群的大小。F(Xi)值越大，則繁衍出下一代的概率也就越高。

交叉的目的在于將不同個體的有用片段重新組合，形成適應度更好的后代。交叉點的位置和個數由算法隨機生成，以便克服局部最優現象，其原理如圖7所示。

圖7 交叉操作原理圖

突變操作是另一種避免局部最優的方法。原理是以較小的概率隨機改變個體中的每位基因的數值，突變的示例結果如圖8所示。

圖8 突變操作原理圖

3 仿真結果

對于該12/8極三相開關磁阻電機，直流端電壓Ud為220 V，給定轉矩為2 Nm，采用AnsysEM 2019R1套件中的Maxwell與Simplorer的耦合場路仿真平臺，確保瞬態有限元分析和驅動系統的仿真分析實時、同步，以驗證所提出離線TSF的性能。電流滯環寬度設為0.1 A，仿真采樣時間ts為1 μs。每個權重參數r值由遺傳算法確定，以確保最優選擇，主電路模型拓撲如圖9所示。

圖9 場路耦合仿真主電路拓撲圖

圖10為未采用遺傳算法下，不同Tikhonov因子的優化TSF與傳統直線型和立方型TSF的轉矩脈動率和電流有效值的對比結果。

圖10 不同TSF下的對比結果

圖10(a)和(b)比較了在2 Nm轉矩下，不同轉矩分配函數的轉矩脈動率Tripple和電流有效值Irms，此時導通角θon和重疊角θov設定為4°和3.5°。電機轉速高于ωmax后，在轉子到達下一個對齊位置時，勵磁電流并不能減小到零，因此相轉矩Tk-ref會產生一定的負轉矩，從而導致了轉矩脈動。隨著轉速的進一步提高，換向時間減小，參考轉矩跟蹤實際轉矩的能力降低，轉矩脈動變得更加明顯。傳統的線型和立方型TSF在1 800 r/min時的轉矩脈動率幾乎是300 r/min時的兩倍；而在1 800 r/min下，當Tikhonov因子r小于0.75時，離線TSF的轉矩脈動率要小得多，r=0.25時的轉矩脈動率最低。由圖10(b)可知，離線TSF和線型以及立方TSF表現出了相似的電流平均值，r=0.5的電流平均值Irms最小。通過綜合考慮最大無轉動脈動速度、銅耗以及轉矩脈動率可得知，選取r=0.5的離線TSF是一種低轉矩脈動、低銅耗的開關磁阻電機控制策略。

為驗證本文所提出的采用遺傳算法后優化離線轉矩分配函數的有效性，分別在600、1 200、1 800 r/min下進行對比實驗。為了使離線TSF和傳統TSF進行公平比較，還可以根據銅耗最小化的基礎上選擇導通角、重疊角和關斷角[5]，依據文獻[7]方法選擇θon、θov分別為3.3°、4.2°。

在轉速為600 r/min、負載轉矩為2 Nm時，采用常規的直線型、立方型和本文所提出的離線轉矩分配函數控制得到的相電流、相轉矩和相參考轉矩以及總轉矩如圖11所示。

圖11 轉速為600 r/min，轉矩為2 Nm,θon=3.3°，θov=4.2°的仿真結果

在轉速為1 200 r/min、負載轉矩為2 Nm時，采用常規的直線型、立方型和本文所提出的離線轉矩分配函數控制得到的相電流、相轉矩和其參考轉矩以及總轉矩如圖12所示。

圖12 轉速為1 200 r.min，轉矩為2 Nm,θon=3.3°,θov=4.2°的仿真結果

在轉速為1 800 r/min、負載轉矩為2 Nm時，采用常規的直線型、立方型和本文所提出的離線轉矩分配函數控制得到的相電流、相轉矩和其參考轉矩以及總轉矩如圖13所示。

圖13 轉速為1 800 r/min，轉矩為2 Nm,θon=3.3°,θov=4.2°的仿真結果

在上述三種轉速下，采用直線型、立方型以及離線轉矩分配函數控制時，SR電機性能對比如表1所示。

表1 不同轉速下直線型、立方型和離線TSF性能對比

由圖11-圖13可知，在負載轉矩為2 Nm時，本文所提出的離線轉矩分配函數控制策略能有效降低轉矩脈動率，且相電流的峰值Imax均小于傳統線型和立方型轉矩分配函數控制。在600和1 200 r/min下，相對于線型和立方型TSF，離線TSF的相轉矩跟蹤特性較好，跟蹤誤差接近于零；當電機轉速超過ωmax而達到1 800 r/min時，離線TSF的跟蹤特性變差，跟蹤誤差開始增大，此時轉矩脈動率為31.42%，但相對于傳統的線型TSF和立方型TSF，該控制方式仍表現出顯著的優越性。

4 結 語

本文提出一種高效的離線TSF來降低開關磁阻電機的轉矩脈動。引入Tikhonov因子來實現離線轉矩分配函數的優化，優化目標包括最小化銅耗Irms和最大化轉矩脈動速度ωmax。針對1.2 kW 12/8極開關磁阻電機進行耦合場路仿真分析，通過可逆轉矩函數模塊將相參考轉矩轉化為相參考電流，從而避免在換相區間出現相電流峰值較大的情況。與傳統線型、立方型轉矩分配控制策略相比，該策略在提升轉矩-速度性能方面具有優勢，增加到了近1 800 r/min，分別是線型和立方型轉矩分配控制策略的10倍和5倍多。在降低轉矩脈動率和提升電機運行效率方面，采用遺傳算法在不同轉速下選擇合適的Tikhonov因子數值，使離線轉矩分配函數和線型及立方型轉矩分配函數具有相當的銅耗，且顯著降低了轉矩脈動率。