基于SVD分解的二階離散時(shí)變線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

付 波 張行星 范秀香 趙熙臨 何 莉

(湖北工業(yè)大學(xué)太陽能高效利用及儲(chǔ)能運(yùn)行控制湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 湖北 武漢 430068)

0 引 言

離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性可以通過判定系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的特征值是否位于復(fù)平面單位圓內(nèi)來判斷[1]，但是時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)并不適用于離散時(shí)變線性系統(tǒng)。凍結(jié)法利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)判斷特定條件下線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但其理論不夠嚴(yán)密。

控制系統(tǒng)可以分為離散線性系統(tǒng)和連續(xù)線性系統(tǒng)，連續(xù)系統(tǒng)的研究相對(duì)于離散系統(tǒng)更為完善,但離散系統(tǒng)也起重要作用，很多離散系統(tǒng)可通過連續(xù)系統(tǒng)離散化得到，目前已有Euler、Runge-Kutta等離散化方法[2-3]。但連續(xù)系統(tǒng)離散化得到的離散系統(tǒng)是否具有原連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性相關(guān)性質(zhì)，依舊是需要繼續(xù)研究的問題?？刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定性判斷[4]方法通常分為兩類，一類主要研究系統(tǒng)方程需要滿足的條件，另一類是尋求李雅普諾夫函數(shù)。對(duì)于離散線性系統(tǒng)的研究[5]，主要集中在差分方程和微分方程的改造。

齊春子等[6]研究了多變量全系數(shù)黃金分割反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，得到了此類閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)變參數(shù)變化速度的約束條件。張振國(guó)等[7]通過構(gòu)造L函數(shù)，分析了二階離散時(shí)變線性系穩(wěn)定性的充分條件。關(guān)軼峰等[8-9]基于李雅普諾夫理論，提出了離散時(shí)變線性系統(tǒng)的充分條件。

本文在這些研究的基礎(chǔ)上，對(duì)線性離散時(shí)變系統(tǒng)的經(jīng)典狀態(tài)矩陣做SVD分解，從而得到新的等效狀態(tài)方程，從李雅普諾夫定理的思路進(jìn)行思考，經(jīng)過推導(dǎo)和驗(yàn)證，得到了兩個(gè)判定線性離散時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)和兩個(gè)不穩(wěn)定判據(jù)。

1 二階離散時(shí)變線性系統(tǒng)及其穩(wěn)定性

1.1 正交多項(xiàng)式三相遞歸式穩(wěn)定性分析

若f(x)，g(x)∈C[a,b]，ρ(x)為[a,b]上的權(quán)函數(shù)，且：

(1)

則稱f(x)與g(x)在[a,b]上帶權(quán)ρ(x)正交。只要給定[a,b]上的權(quán)函數(shù)ρ(x)，由{1,x,…，xn，…}利用逐個(gè)正交化手續(xù)得到正價(jià)多項(xiàng)式序列:

(2)

并且滿足遞推關(guān)系:

ρn+1(x)=(x-αn)ρn(x)-βnρn-1(x)n=0,1,…

(3)

其中：

ρ0(x)=1ρ-1(x)=0

(4)

式中：(x-αn)和βn為遞歸式的系數(shù)。

把式(3)的階數(shù)n作為一個(gè)離散變量進(jìn)行思考，則式(3)便可以看成一個(gè)離散時(shí)變線性系統(tǒng)進(jìn)行分析。

1.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性定理

定義1說明，對(duì)于每一個(gè)球域S(ε)，若存在一個(gè)球域S(δ)，當(dāng)t→∞時(shí)，從S(δ)球域出發(fā)的軌跡不離開S(ε)球域，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的，如圖1(a)所示。

(a)穩(wěn)定

漸進(jìn)穩(wěn)定性是個(gè)局部穩(wěn)定的概念，圖1(b)中的球域S(δ)是漸進(jìn)穩(wěn)定的范圍。

定義3如果從S(δ)球域出發(fā)的軌跡，無論S(δ)球域選得多么小，至少有一條軌跡脫離S(ε)球域，則稱平衡狀態(tài)xe為不穩(wěn)定的。如圖1(c)中的軌跡曲線(2)所示。

1.3 SVD穩(wěn)定性分析

定義二階離散線性時(shí)變系統(tǒng)：

X(k)=G(k)X(k-1)

(5)

式中：2×2狀態(tài)矩陣G(k)∈C2×2，rankG(k)=2(2>0)。一般采用李雅普諾夫第二法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但是李雅普諾夫函數(shù)不易構(gòu)造。即使構(gòu)造出該函數(shù)，在判定能量增量正定性(或負(fù)定性)的過程中，也可能因不等式運(yùn)算而大大縮小系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定區(qū)間。

對(duì)狀態(tài)矩陣G(k)作SVD分解，存在二階酉矩陣U(k)和V(k)，使得：

G(k)=U(k)S(k)V(k)T

(6)

式中：S(k)=diag(σ1(k),σ2(k))由G(k)唯一確定，σ1(k)≥σ2(k)>0，σi(k)(i=1,2)為G(k)正奇異值；U(k)、V(k)是非唯一酉矩陣。把U(k)、V(k)作為單位旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行討論，式(5)表示為：

X(k)=U(k)S(k)V(k)TX(k-1)

(7)

將式(7)展開得:

X(k)=U(k)S(k)V(k)T…U(1)S(1)V(1)TX(0)

(8)

重定義R(k)=U(k)，R(k-1)=V(k)TU(k-1)，Y(0)=V(1)TX(0)，Y(k)=X(k)，得：

Y(k)=R(k)S(k)R(k-1)S(k-1)…R(1)S(1)Y(0)

(9)

易得單位旋轉(zhuǎn)矩陣R(k)：

(10)

令D(k)=R(k)S(k),對(duì)于D(k)序列，雖然第k項(xiàng)D(k)的表達(dá)式與其他序列不同，但它不影響式(7)的狀態(tài)穩(wěn)定性,那么有以下RS系統(tǒng)：

Y(k)=D(k)Y(k-1)

(11)

可見，對(duì)二維離散時(shí)變線性系統(tǒng)的分析可以等價(jià)于對(duì)式(11)進(jìn)行分析，式(5)的穩(wěn)定性分析也可以等價(jià)于對(duì)式(11)進(jìn)行分析。

式(5)中每一個(gè)狀態(tài)矩陣G(k)可以轉(zhuǎn)化成式(9)的兩個(gè)矩陣R(k)與S(k)，圖2為矩陣R(k)與矩陣S(k)的作用效果。R(k)可以使向量i逆時(shí)針單位旋轉(zhuǎn)θ(k)，但并不會(huì)改變i的幅值。考慮到σ1(k)>σ2(k)，則矩陣S(k)會(huì)讓向量i在一、三象限進(jìn)行角度為ω′(k)的順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(在二、四象限進(jìn)行同樣角度的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn))，并且改變向量模值的大小。

(a)旋轉(zhuǎn)效果R(k)

2 RS系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

2.1 單象限運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析

定理1如圖3所示，討論一類RS系統(tǒng)，Y(k)=D(k)Y(k-1),k=2,3,…,在二維相平面y1-y2內(nèi)，其狀態(tài)軌跡最終保持在第一或第三象限。

圖3 穩(wěn)定性運(yùn)動(dòng)軌跡的模型

已知σ1(k)>σ2(k)，σ2(k)<1，當(dāng)滿足:

0<θ(k)≤θmax(k)

(12)

0<κ2(k)<κ′(k)

(13)

和

(14)

式(11)穩(wěn)定。

式中：

2.2 單象限運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定性分析

定理2如圖4所示，討論一類RS系統(tǒng)，Y(k)=D(k)Y(k-1),k=2,3,…,在二維相平面y1-y2內(nèi)，其狀態(tài)軌跡最終保持在第一或第三象限。

圖4 RS系統(tǒng)單象限不穩(wěn)定情況

已知σ1(k)>σ2(k)，σ2(k)<1，當(dāng)滿足：

0<θ(k)≤θmax(k)

(15)

0<κ2(k)<κ′(k)

(16)

和

(17)

式(11)不穩(wěn)定。

式中：

2.3 二四對(duì)象限對(duì)向運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析

如圖5所示，討論一個(gè)RS系統(tǒng)，其狀態(tài)軌跡保持在第二與第四象限對(duì)向運(yùn)動(dòng)。

圖5 RS系統(tǒng)兩象限穩(wěn)定情況

定理3對(duì)于式(11)，在二維相平面y1-y2內(nèi)，已知σ1(k)>σ2(k)，σ2(k)<1，當(dāng)滿足：

θmin(k)≤θ(k)<π

(18)

0>κ2(k)>κ′(k)

(19)

和

(20)

式(11)穩(wěn)定。

式中：

2.4 一三對(duì)象限對(duì)向運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定性分析

如圖6所示，討論一個(gè)RS系統(tǒng)，其狀態(tài)軌跡保持在第一與第三象限對(duì)向運(yùn)動(dòng)。

圖6 RS系統(tǒng)兩象限不穩(wěn)定情況

定理4對(duì)于式(11)，在二維相平面y1-y2內(nèi)，已知σ1(k)>σ2(k)，σ2(k)<1，當(dāng)滿足：

(21)

0<κ′(k)<κ*(k)

(22)

和

(23)

式(11)不穩(wěn)定。

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 單象限運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)

Krawtchouk多項(xiàng)式構(gòu)成的離散時(shí)變系統(tǒng)迭代公式如下：

(24)

式中：x=100，p=0.6，N=400。pk(x)初值為(1,1)。

圖7為旋轉(zhuǎn)角度θ(k)與極限角度θmax(k)、G(k)的奇異值σ1(k)和σ2(k)、RS變換前后相量模值比H(k)、臨界斜率κ2(k)和κ′(k)。圖7(c)和(e)顯示，當(dāng)k>1，有0<θ(k)<θmax(k),且0<θ(k)<π/2, 0<κ2(k)<κ′(k)，滿足式(12)和式(13)；圖7(d)顯示σ1(k)>σ2(k)>0；圖7(a)中，當(dāng)k>5時(shí)，有H(k)<1，符合式(14)。由定理1可知，Krawtchouk多項(xiàng)式的三項(xiàng)遞歸計(jì)算在點(diǎn)x=100處穩(wěn)定。

(a)模值比函數(shù)H(k)

Krawtchouk多項(xiàng)式在點(diǎn)x=100遞歸計(jì)算的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差分別記錄在圖8(a)和圖8(b)。由圖8(a)可知，當(dāng)045時(shí)，絕對(duì)誤差開始減小并趨于穩(wěn)定；由圖8(b)可得相對(duì)誤差在極小的區(qū)間先增大然后減小并趨于穩(wěn)定，絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差的趨勢(shì)都符合定理1。所以Krawtchouk多項(xiàng)式在x=100具有遞歸數(shù)值穩(wěn)定的性質(zhì)，而以Krawtchouk多項(xiàng)式作為核函數(shù)的Krawtchouk矩也具有相同的穩(wěn)定性性質(zhì)。

(a)絕對(duì)誤差

3.2 單象限運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)

某離散時(shí)變系統(tǒng)多項(xiàng)式迭代公式如下：

(25)

式中：x=390，N=400，p=0.9。

圖9為旋轉(zhuǎn)角度θ(k)與極限角度θmax(k)、G(k)的奇異值σ1(k)和σ2(k)、RS變換前后相量模值比H(k)、臨界斜率κ2(k)和κ′(k)。圖9(c)和(e)顯示，當(dāng)k>1，有0<θ(k)<θmax(k),且0<θ(k)<π/2,0<κ2(k)σ2(k)>0；圖9(a)中，當(dāng)k>28時(shí)，有H(k)>1，符合式(17)。由定理2可知，該離散系統(tǒng)多項(xiàng)式的三項(xiàng)遞歸計(jì)算在點(diǎn)x=390處穩(wěn)定。

(a)模值比函數(shù)H(k)

該離散系統(tǒng)的多項(xiàng)式在點(diǎn)x=390遞歸計(jì)算的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差分別記錄在圖10(a)和圖10(b)。由圖10(a)可知，當(dāng)k>0時(shí)，絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差均一直增大，相對(duì)誤差增長(zhǎng)趨勢(shì)較絕對(duì)誤差增長(zhǎng)趨勢(shì)稍緩，但都發(fā)散，與定理2的結(jié)論一致。因此該離散系統(tǒng)的多項(xiàng)式至少存在一點(diǎn)x=390具有遞歸數(shù)值不穩(wěn)定。

(a)絕對(duì)誤差

3.3 二四對(duì)象限穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)

Krawtchouk多項(xiàng)式構(gòu)成的離散時(shí)變系統(tǒng)迭代公式如下：

(26)

式中：x=390,p=0.6,N=400。pk(x)的初值為(1,-1)。

圖11記錄了旋轉(zhuǎn)角度θ(k)與極限角度θmin(k)、G(k)的奇異值σ1(k)和σ2(k)、RS變換前后相量模值比H(k)、臨界斜率κ2(k)和κ′(k)。圖7(c)和(e)顯示，當(dāng)k>1，有0<θ(k)<θmax(k)且π/2<θ(k)<π, 0<κ′(k)<κ2(k)，滿足式(18)和式(19)；圖11(d)顯示σ1(k)>σ2(k)>0；圖11(a)中，當(dāng)k>6時(shí)，有H(k)<1，符合式(20)。由定理3可知，Krawtchouk多項(xiàng)式的三項(xiàng)遞歸計(jì)算在點(diǎn)x=390處穩(wěn)定。

(a)模值比函數(shù)H(k)

Krawtchouk多項(xiàng)式在點(diǎn)x=390遞歸計(jì)算的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差分別記錄在圖12(a)和圖12(b)中。由圖12(a)可見當(dāng)0190時(shí)絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差都減小并趨于穩(wěn)定。絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差都符合定理3。因此Krawtchouk多項(xiàng)式至少存在一點(diǎn)，該點(diǎn)在x=390時(shí)，多項(xiàng)式具有數(shù)值穩(wěn)定性的性質(zhì)，以x=390具有遞歸數(shù)值穩(wěn)定，使Krawtchouk多項(xiàng)式作為核函數(shù)的矩也具有相同的穩(wěn)定性。

(a)絕對(duì)誤差

3.4 一三對(duì)象限不穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)

某離散時(shí)變系統(tǒng)多項(xiàng)式迭代公式如下：

(27)

式中：x=390，p=0.9，N=400。pk(x)初值為(1，1)。

圖13為旋轉(zhuǎn)角度θ(k)與極限角度θmin(k)、G(k)的奇異值σ1(k)和σ2(k)、RS變換前后相量模值比H(k)、臨界斜率κ*(k)和κ′(k)。圖13(c)和(e)顯示，當(dāng)k>50，有0<θmin(k)<θ(k)且π<θ(k)<3π/2,0<κ*(k)<κ′(k)，滿足式(21)和式(22)；圖13(d)顯示σ1(k)>σ2(k)>0；圖13(a)中，當(dāng)k>25時(shí)，有H(k)>1，符合式(23)。由定理4可知，該離散系統(tǒng)多項(xiàng)式的三項(xiàng)遞歸計(jì)算在點(diǎn)x=390處不穩(wěn)定。

(a)模值比函數(shù)H(k)

該離散系統(tǒng)多項(xiàng)式在點(diǎn)x=390遞歸計(jì)算的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差分別記錄在圖14(a)和圖14(b)中。由圖14(a)可得當(dāng)098時(shí)絕對(duì)誤差又開始增大并趨于發(fā)散；由圖14(b)可得當(dāng)0150時(shí)相對(duì)誤差又開始增大并趨于發(fā)散。由此可得絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差都與定理4的結(jié)論一致，該離散系統(tǒng)多項(xiàng)式至少存在一點(diǎn)x=390具有遞歸數(shù)值不穩(wěn)定。

(a)絕對(duì)誤差

4 結(jié) 語

本文通過SVD分解建立新的離散線性時(shí)變系統(tǒng)RS模型，基于李雅普諾夫定理提出關(guān)于二階離散時(shí)變線性系統(tǒng)的兩個(gè)穩(wěn)定性判斷充分條件和兩個(gè)不穩(wěn)定性判斷充分條件。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提出的離散線性時(shí)變系統(tǒng)穩(wěn)定性與不穩(wěn)定性判斷條件的有效性。