圓的綜合題考法淺析

湖北省咸豐縣坪壩營鎮楊洞中小學校 445605

如果說函數的綜合運用是初中數學所學內容的全部的話，那么圓的綜合題就是初中所學幾何知識的全部。細讀近十年恩施州中考數學試題，除2011年出現在21題外，近九年的23題都是圓的綜合題，可以說具有絕對的穩定性，試題覆蓋了初中所學幾何的全部章節內容。

試題有兩至三問，但第一問年年都是切線的證明，具有絕對的穩定性，第二、三問有求陰影部分面積的、角的度數的、證明線段相等的和求線段長度的，但求線段長度的居多。涉及到主要的知識點是：切線的性質和判定、三角形全等、等邊（腰）三角形的性質、圖形的面積、直角三角形兩銳角的關系、線段垂直平分線的性質、圓周角定理及其推論、三角函數、勾股定理、垂徑定理、相似三角形性質、特殊的四邊形、平行線的性質和判定等，基本上覆蓋初中階段所學幾何知識的全部。下面淺談一下切線的證明方法和線段長度的求法。

一、切線的證明方法

近十年考題的切線證明都是根據切線的判定定理來證明的，及過半徑的外端，且垂直于這條直徑的直線就是圓的切線，解決問題的途徑只有兩種。

途徑一：證明這條直線與半徑所成的角與另一直角相等，來證明這條直線是圓的切線。如：21.（2011·恩施 本小題滿分8分）如圖，已知AB為⊙的直徑，BD為⊙的切線，過B點的弦BC ⊥OD交⊙O于C點，垂足為M.

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）當BC=BD，且BD=6cm時，求圖中陰影部分的面積（結果不取近似值）.

解決此題，可通過證明這條直線與半徑所成的角與圖中的直角相等，來得到這條直線是圓的切線。2013年中考的23題第一問也可用此方法來解決。23.（2013·恩施 滿分10分）如圖11，AB是⊙O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點，過C作CD垂直AB于D點，交AE于F點，過C作AE平行線交BA的延長線于G點.

(1)求證：GC是⊙O的切線.

(2)求證：AF=CF

(3)若∠EAB=30O，CF=2求GA的長.

途徑二：通過推理計算得出這條直線與半徑所成的角是直角，來證明這條直線是圓的切線。如：23.（2014·恩施州）如圖13，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AB ⊥CD，垂足為E，連接AC、AD，延長AB交過點C的直線于點P，且∠DCP=∠DAC

（1）求證：PC是⊙O的切線

（2）若AC ＝5，CD ＝6，求PC的長

此題就是直接計算這條直線與半徑所成的角是直角，從而得到PC是⊙O的切線。

二、線段長度的求法

此類題求線段的長度常綜合運用到等腰三角形的性質、垂徑定理、勾股定理、三角函數、相似三角形性質、特殊的四邊形的性質來解決。下面以2014·恩施州中考數學試題23題來說明（題圖見前）

此題就運用了垂徑定理、勾股定理、三角函數（相似△的性質）來解決。2013年中考題的23題第三問也可用類似的方法來解決。