基于MODWT 變換的海洋重力觀測航行數據濾波方法

孫鶴泉，金紹華，張宇

（海軍大連艦艇學院 軍事海洋與測繪系，遼寧 大連 116018）

海洋測量船搭載海洋重力儀實施重力測量時，重力儀在受地球自轉產生的離心力影響的同時，還受到測量船移動產生的附加離心力的影響，出現厄特弗斯效應，產生額外的擾動加速度，擾動加速度與重力加速度相混疊，影響海洋重力測量的精度。在海洋重力測量中，厄特弗斯效應是主要誤差源，是所有修正項中最大的影響項，海洋重力測量數據需要經過多項修正，才能得到重力空間異常、布格異常成果。厄特弗斯效應無法通過改進儀器和增加附屬設備來消除，只能通過相應的數據處理進行修正（韓孝輝等，2017）。

對海洋重力測量數據進行厄特弗斯改正時要用到測量船航速和航向角的數據，海洋調查規范要求測量船在海洋重力測量過程中沿著設計測線勻速直線航行，航速和航向角誤差要在規定的范圍內（國家海洋局，2007）。受海況及環境因素影響，差分GPS 得到的航速和航向角時間序列存在較大誤差，需要對航速和航向角數據進行濾波處理來削弱這些誤差的影響，提高航速和航向角的測量精度，滿足海洋調查規范要求（張會等，2011）。

噪聲干擾無處不在，從含噪信號中濾除干擾，提高信噪比具有實際應用價值。根據噪聲能量集中在高頻，有效信號的能量分布在低頻這一特點，研究人員提出了多種降噪濾波方法，面對眾多的濾波方法，需要對濾波器類型與參數進行合理選擇。多數常規濾波器是前驗性的，即對信號和噪聲的分布類型進行特定假設，利用信號中噪聲的一些特征或統計參數才能很好地實現濾波，降低了濾波器對信號與噪聲的自適應功能。在缺乏先驗知識的情況下，采用小波變換進行降噪處理成為研究人員的一種很好選擇。在采用定量化的Lipschitz 條件來確定小波收縮閾值的基礎上，本文提出了一種利用具有平移不變性的最大重疊離散小波變換（Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform，MODWT）進行海洋重力觀測中航速和航向角數據濾波的算法，并通過分析實測數據驗證了算法的可靠性。

1 理論基礎

只考慮加性噪聲，可以將觀測信號X（t）分解為如公式（1）所示的兩部分：

其中，f（t）表示信號中的有效部分；n（t）表示信號中的高斯噪聲或高頻波動；本文算法主要用來消除或抑制公式（1）中的第二項n（t）。

1.1 MODWT 變換

MODWT 變換是小波分析領域中較新的一種形式，也是離散正交小波變換的一種變形拓展。與正交小波變換相比，MODWT 變換是一種高冗余度非正交變換，但具有平移不變性，可以彌補正交小波變換的固有缺陷。與正交小波一樣，MODWT 變換也可以通過塔形算法進行高效計算，只需將正交小波變換在濾波器設計上做些細微的修改即可實現MODWT 變換，且計算復雜性與FFT 算法相同（Donald et al,2000）。本文采用MODWT 變換是因為其具備如下特點：

（1）J 級的正交小波變換要求信號序列的長度為2J的整數倍，而MODWT 變換對信號序列的長度沒有要求；

（2） 通過MODWT 變換實現信號的多分辨率分析，變換的細節部分和光滑部分是與零相位濾波器相關的，可以提取出原信號中的關鍵特征；

（3） 信號序列的循環平移的MODWT 變換與信號序列的MODWT 變換的循環平移相對應；

（4） 可利用MODWT 變換的小波系數和尺度系數進行信號的方差分析。

其中，t=0，1，…，N-1。

1.2 高斯噪聲

1.3 收縮閾值

與正交小波變換一樣，公式（1）中信號X（t）的特征可以用其MODWT 變換的小波系數來描述：較大的系數對應較多的信息、較小的系數對應較少的信息。根據數值大小來衡量小波系數在信號中所占比重，利用MODWT 小波進行信號降噪就是對絕對值較小的小波系數進行閾值收縮處理（Donald et al，2000），把低于閾值的小波系數作為噪聲進行置零或收縮處理。

在對MODWT 小波系數進行閾值收縮處理過程中，閾值的選取直接影響到小波降噪的處理效果。閾值選擇過大，會導致過濾波，信號過度光滑，丟失邊緣等局部特征；閾值選擇過小，則造成欠濾波，噪聲抑制不夠，達不到降噪目的。為了避免過濾波和欠濾波的出現，本文以假設觀測信號光滑連續為前提，利用表征函數正則性的Lipschitz條件來確定合適的收縮閾值。

如果函數f（x）滿足Lipschitz 條件，那么存在常數L，對定義域內任意兩個自變量，有公式（6）成立。

公式（6）是定性描述表征函數正則性的Lipschitz 條件，所有文獻中關于常數L 的計算方法并無太多介紹。為了能夠定量使用Lipschitz 條件，本文對公式（6）進行了改進。利用Donoho 等（1995a，1995b） 提出的MAD 中位數閾值估算方法獲得初始閾值（Donald et al，2000），依次小幅增大閾值，直到重構信號滿足公式（7）所示的條件為止，實現信號重構。

2 算法測試

為了驗證上述算法的降噪性能，模擬生成如圖1 所示的理想信號和隨機加噪信號。

圖1 理想模擬信號與隨機加噪信號

利用傳統頻域低通濾波方法對圖1（b）中的加噪信號進行光滑處理，得到如圖2（a）所示結果，圖2（b）則為利用本文算法分析得到的結果。

對比圖2 中的兩組分析結果可以看出，本文算法在消除噪聲的同時，很好地保留了信號的局部特征；進一步計算兩種方法的信噪比，分別為29.82、33.32，也能夠體現出本文算法的優勢。

圖2 降噪處理后的信號

3 數據分析

下面提供了兩組實測信號及處理結果，用來驗證本文方法的可靠性和實用性。圖3 和圖5 中列出了在中國南海某區域進行重力測量時的航速和航向角數據，從圖中的曲線可以看出，原始觀測數據中存在明顯的噪聲干擾。考慮到小波的光滑性、消失矩和緊支區間等因素，本文選用db-3 小波作為基函數，圖4 和圖6 中列出了采用本文方法處理后的濾波結果。

圖3 第一組實測航行數據曲線

圖4 降噪濾波后的第一組航行數據曲線

圖5 第二組實測航行數據曲線

圖6 降噪濾波后的第二組航行數據曲線

圖3 中相鄰測點的角度差最大為3.43毅、速度差最大達到0.42 節，圖5 中相鄰測點的角度差最大為4.03毅、速度差最大達到0.4 節，且為高頻波動，顯然是因為波浪等海況因素導入的噪聲干擾，航速和航向角誤差已經超出規范規定的范圍（國家海洋局，2007）。圖4 中相鄰測點的角度差最大為0.99毅、速度差最大達到0.004 節，圖6 中相鄰測點的角度差最大為0.74毅、速度差最大達到0.021 節，很好地抑制了信號中的噪聲成分，符合規范要求。同時本文方法準確地保留了信號的局部特征，便于后期對數據進行分段處理。

4 結論

海洋調查數據中的噪聲干擾對數據后期分析和參數計算的影響很大，削弱噪聲干擾能夠顯著提高數據信噪比，突出觀測數據中的關鍵特征。本文利用MODWT 變換和改進的定量化Lipschitz 條件，從高斯噪聲小波系數的分布特性入手，提出了一種海洋重力觀測中含噪航行數據的濾波方法。本文方法能夠準確重構觀測數據中的有效信號，在去除噪聲干擾的同時，又不致重構信號失真。對比本文提供的模擬信號和兩組實測數據及濾波處理結果，可以驗證本文方法的可靠性與有效性。