違反直覺的概率事件

張本末

數學是有趣且美妙的，但是有時候它卻會讓你失去信心，甚至在別人面前出丑。這是因為在一些看起來非常直觀的數學問題的背后，往往隱藏著你容易忽略的簡單邏輯，導致你在計算的時候“栽跟頭”。算錯往往不是因為你不懂，而是數學其實是一個非常巧妙的“偽裝者”，它常常讓你忘記了它其實是戴著面紗的。本文介紹了3例違反直覺的概率事件。

三門問題

第一個事件是三門問題。1963年的一個美國電視游戲節目《讓我們做個交易》中，一個叫做蒙蒂·霍爾的主持人提出了該問題。三門問題是這樣描述的：你作為一個玩家在玩一個游戲——在你前面分別有左、中、右三扇門，一扇門后面有一輛汽車，其余兩扇門后面分別是一只山羊。你有一次開門的機會，如果你打開了后面停著汽車的門，你就能贏走這輛汽車。如果你打開了其他的門，那你將什么都得不到。

你肯定是不會知道每扇門后面是什么的，莊家則一清二楚。當你選中一扇門時（假設此門為1號），莊家就會挑選另一扇門（假設是3號），3號門的后面是一只山羊。然后莊家問你：你想改變你的選擇嗎？要不改選2號門？這時你自然而然地認為，只剩下兩扇門了，且一扇是山羊一扇是車，不管選擇1號還是2號，獲得車的概率都是1/2，就不用改變選擇了吧。然而，如果你這樣想，你就錯了！事實上，如果你改選2號門，你贏得汽車的概率是2/3。如果你堅持1號門，你贏得汽車的概率只有1/3，這是為什么呢？

左、中、右三扇門，門后的物體有三種可能的排列——1：車、羊、羊;2：羊、車、羊;3：羊、羊、車。門的位置是不變的，但號碼是可以變的——你挑的門為1號門，莊家開給你看的為3號門。我們假設你挑選的是左門，即左門為1號門（哪個門作為1號門都是一樣的）。對于第一種情況而言，中門和右門哪個作為2號門（3號門）的結果都是一樣的，即你只有堅持原選擇，你才能贏得車;對于第二種情況，莊家會打開右門作為3號門給你看，因為這扇門后是一只羊，而你只有改變選擇，選擇2號門的中門，才能贏得車;而對于第三種情況，莊家會給你看中門，而你只有改變選擇，選擇作為2號門的右門，你才能贏。所以以上三種情況，有兩種情況是改變選擇才能贏，只有一種情況是堅持選擇才能贏。綜上，改變選擇贏的概率是2/3，而堅持選擇贏的概率是1/3。所以，為了更可能贏車，你還是改選2號門吧。

8名囚犯的問題

第二個事件是這樣的，分別被標號為1～8的8名囚犯獲得了一個被集體釋放的機會，但他們需要通過一個游戲：他們將按號碼順序陸續進入一個房間。該房間里面有8個抽屜，每個抽屜里面有一個小紙條，紙條上面有一個號碼，號碼為1～8中的一個且不重復，且紙條是隨機放在抽屜里的。每個囚犯分別輪流進入房間，進去后的囚犯最多被允許打開任意4個抽屜，如果這4個抽屜里面有寫著這個人序號的紙條，這個人就算贏。上一個囚犯將所有的東西還原并且出去后，下一個囚犯才能進來。一旦游戲開始，即第一個人進入房間，所有的囚犯將不得再交流。8名囚犯必須全部贏，他們才能被釋放。一旦有一名囚犯輸了，這群人將全部被槍斃。

這個游戲可比上一個游戲殘酷多了！因為對于一名囚犯來說，寫有他的號碼的紙條在他所挑選的4個抽屜里面的概率為4除以8，即1/2。每一名囚犯都是獨立做挑選工作的，且互不干擾，所以8囚犯全部贏的概率為（1/2）8≈0.0039，甚至還不足千分之四。這個概率太小了，有同學看到這里會認為這群囚犯很難活得了，這個游戲極其不公平！但事情真的只能是這樣嗎？

實際上，如果囚犯們采取一種共同的策略，就可以使所有人都贏的機會大大增加，這個概率甚至超過了30%。那么這是什么策略呢？我們把抽屜按1～8的順序從左到右給抽屜編號。我們規定序號為X的囚犯第一個必須打開序號為X的抽屜，然后按照X序號抽屜里面的號碼Y，確定下一個打開的抽屜的序號。按照這種模式，一直找到自己的號碼為止，或者用完能夠抽取的抽屜的次數。我們利用一種布局來說明一下這種策略。

抽屜序號 1 2 3 4 5 6 7 8

抽屜里的號碼 4 6 1 3 7 5 2 8

由1號囚犯開始，他打開了1號抽屜，看到了號碼4。然后打開抽屜4，看到了號碼3，再打開抽屜3，看到了號碼1，他贏了。

對于2號囚犯：抽屜2 →抽屜6 →抽屜5 →抽屜7，贏了

對于3號囚犯： 抽屜3 →抽屜1 →抽屜4，贏了

對于4號囚犯： 抽屜4 →抽屜3 →抽屜1，贏了

對于5號囚犯： 抽屜5 →抽屜7 →抽屜2 →抽屜6，贏了

對于6號囚犯： 抽屜6 →抽屜5 →抽屜7 →抽屜2，贏了

對于7號囚犯： 抽屜7 →抽屜2 →抽屜6→抽屜5，贏了

對于8號囚犯： 抽屜8，贏了。至此，所有人都會被釋放。

我們發現，對于這種布局，無論誰去打開抽屜，他都將陷入三種循環（如下）中的其中一種。而之所以每個人都能贏，是因為這三種循環含有的抽屜數都不多于4個，這意味著任何人都能在4次選擇之前找到自己的號碼。

一：抽屜1→抽屜4→抽屜3 →抽屜1

二：抽屜2 →抽屜6 →抽屜5 →抽屜7→抽屜2

三：抽屜8本身循環

然而，如果換一種布局，情況可就不那么妙了。例如下面這一種：

抽屜序號 1 2 3 4 5 6 7 8

抽屜里的號碼 4 6 8 3 7 5 1 2

這里面只有一個循環：抽屜1→抽屜4→抽屜3 →抽屜8→抽屜2→抽屜6 →抽屜5→抽屜7→抽屜1。這個循環含有全部8個抽屜，任何人要想翻出自己的號碼，都得開完8個抽屜。看來，這種策略有時會面臨好運，有時會面臨厄運。

但我們在意的是成功的概率。首先得提一下客觀事實，含有超過一半數量——4個的抽屜的循環（可能含有5、6、7或8個抽屜）最多只有一個，因為抽屜總量是8個。而一旦存在含有超過4個抽屜的循環，意味著一定會有人失敗。經過計算，不含有超過4個循環的布局發生的概率約為0.365（學過排列組合的同學可以自己算下），這也是這種策略的成功率，這個數字遠大于千分之四。

辛普森悖論

第三個事件是這樣的：根據下面兩個表格所顯示的數據，你認為邁克爾·喬丹和雷吉·米勒哪一個投籃命中率最高？

乍一看，雷吉·米勒的三分命中率和2分命中率都比邁克爾·喬丹高——52%>51%、38%>29%，我們就很容易得出雷吉·米勒的命中率比邁克爾·喬丹高的結論。然而事情卻并非直觀印象所顯示的那樣——邁克爾·喬丹的命中率更高！因為三分和兩分的命中率所占的比例是不一樣的，我們不能簡單的將三分和兩分的命中率分別直接對比，這就是辛普森悖論。平均下來，邁克爾·喬丹的命中率是49%，而雷吉·米勒的命中率是47%，邁克爾·喬丹技高一籌。這是怎么算的呢？

其實，這個很簡單，因為命中率和場均分數無關，我們只需要將場均命中的次數除以場均嘗試的次數就可以了。對于邁克爾·喬丹來說，其場均命中率為（21.2×51%+1.7×29%）/（21.2+1.7）≈49%，按照同樣的方法算得雷吉·米勒的場均命中率約為47%。結果很驚訝吧？