一類改進(jìn)的廣義隨機(jī)奇異值分解方法

劉圓圓

（成都理工大學(xué)，四川 成都610059）

1 概述

不適定問題的應(yīng)用背景非常廣泛, 如信號(hào)處理, 圖像去噪去模糊, Fredholm 類積分方程等。近幾年，廣義奇異值分解以及隨機(jī)算法被廣泛提出用于解決線性離散不適定問題。不適定問題是指對(duì)于以下三個(gè)條件中任意一條不滿足的問題：解的存在性、解的唯一性、解的穩(wěn)定性。同時(shí)，現(xiàn)在也有越來越多的領(lǐng)域充滿著越來越多的問題是不適定的，所以對(duì)于不適定問題的研究是具有實(shí)際意義的。

2 問題的提出

3 改進(jìn)的隨機(jī)廣義奇異值分解方法

4 數(shù)值實(shí)例

們選取兩個(gè)代表性的矩陣維度n=1000 和n=2000。

表1（Phillips）不同維度及噪聲水平下兩種方法在CPU 時(shí)間和相對(duì)誤差上的比較

圖1（Phillips）不同維度及噪聲水平下兩種方法精確解和近似解的比較

表2（Heat）不同維度及噪聲水平下兩種方法精確解和近似解的比較

圖2（Heat）不同維度及噪聲水平下兩種方法在CPU 時(shí)間和相對(duì)誤差上的比較

由表1 表2 以及圖1 和圖2 可知，表格當(dāng)中對(duì)比了兩種算法及兩種矩陣維度的運(yùn)行時(shí)間以及相對(duì)誤差，圖當(dāng)中對(duì)比了兩種算法相對(duì)于精確解的結(jié)果。改進(jìn)算法的近似解與原始算法的近似解與精確解的相對(duì)誤差相差不大，但改進(jìn)算法在運(yùn)行時(shí)間上比原始算法更具優(yōu)勢，數(shù)值實(shí)例說明了此算法的有效性。同時(shí)由表1 可以看出，在不同的矩陣維度下，改進(jìn)算法的CPU 時(shí)間低于原始算法的運(yùn)行時(shí)間。此外，原始算法的相對(duì)誤差有時(shí)小于改進(jìn)算法的相對(duì)誤差，有時(shí)大于改進(jìn)算法的相對(duì)誤差，但其數(shù)值相差不大。由于隨機(jī)矩陣和隨機(jī)方法的引入，使得隨機(jī)矩陣不具有確定性，且當(dāng)在進(jìn)行matlab 實(shí)驗(yàn)時(shí)，沒有將隨機(jī)矩陣確定下來，所以誤差具有不確定性。總而言之，相對(duì)誤差的大小對(duì)比相差過小，因此可以得到原始算法與改進(jìn)算法在數(shù)值實(shí)例中都保持相當(dāng)?shù)木_度。在運(yùn)行時(shí)間上進(jìn)行比較時(shí)，可以看出改進(jìn)算法始終都比原始算法更有優(yōu)勢。當(dāng)n=1000 時(shí)，時(shí)間相差大約2 秒。當(dāng)足夠大的時(shí)候，例如當(dāng)n=2000 時(shí)，原始算法和改進(jìn)算法在的時(shí)間上相差更大，然而改進(jìn)算法卻依然能運(yùn)行得很好，保持較好的相對(duì)誤差。所以隨著矩陣維度的增加，改進(jìn)算法比原始算法在運(yùn)行時(shí)間上更具優(yōu)勢。

本文提出了一種GSVD 的重新縮放與隨機(jī)方法的結(jié)合，旨在減小問題(1)中非奇異矩陣的條件數(shù)，同時(shí)降低矩陣的維度。歸一化后的GSVD 產(chǎn)生了新的截?cái)郍SVD 方法，這也是一種非常適合求解線性離散不適定問題的方法。