結合子空間旋轉技術的非圓信號快速DOA 估計

王薇，張明，姚博彬，殷勤業，穆鵬程

（1.西京學院信息工程學院，陜西 西安 710123；2.西安交通大學智能網絡與網絡安全教育部重點實驗室，陜西 西安 710049；3.西安微電子技術研究所，陜西 西安 710000；4.長安大學電子與控制工程學院，陜西 西安 710064）

1 引言

波達方向（DOA,direction of arrival）估計作為陣列信號處理的一個重要分支，廣泛應用于雷達、聲吶、無線通信等領域[1-3]。經典的信號DOA 估計算法有多重信號分類（MUSIC,multiple signal classification）算法、求根 MUSIC（Root-MUSIC,root-multiple signal classification）算法等[4-6]。這些算法都建立在入射信號為窄帶或寬帶信號的基礎上，未考慮入射信號自身的結構特征[6-7]。隨著二進制相移鍵控（BPSK,binary phase shift keying）信號、調幅（AM,amplitude modulation）信號、多進制幅移鍵控（MASK,multiple amplitude shift keying）信號等非圓信號在實際通信中的應用越來越廣泛，眾多學者將非圓信號偽協方差矩陣不為零的特點應用于DOA 估計中[7-14]，通過增加陣列接收信號矩陣的維度，擴展陣列的有效孔徑，提高DOA 估計的精度。根據非圓信號的特性，文獻[9]提出了非圓MUSIC（NC-MUSIC,non-circular MUSIC）算法。該算法具有超高分辨率的優點，但由于引入了二維譜峰搜索，算法運算量龐大，工程實用性大打折扣。為了降低NC-MUSIC 算法的運算復雜度，文獻[9]又提出了非圓Root-MUSIC 算法，利用多項式求根代替二維譜峰搜索，在一定程度上降低了NC-MUSIC 算法的運算復雜度。文獻[10-11]采用凸優化方法將NC-MUSIC 算法中的二維譜峰搜索轉化為一維譜峰搜索，大幅降低了譜峰搜索階段的運算量，但其一維譜峰搜索仍具有較高的運算復雜度。文獻[12-13]通過歐拉變換將復數據轉化為實數據，并在構建空域字典集的基礎上，通過稀疏重構實現DOA 估計。該算法雖可降低DOA 估計的運算復雜度，但前提是要精確補償由傳輸時延帶來的非圓相位，且信號入射角度需精確位于字典網格上。當實際環境不滿足前提要求時，算法的估計性能會嚴重下降。

為了降低非圓信號NC-MUSIC 算法的運算復雜度，本文提出一種結合子空間旋轉的非圓信號快速DOA 估計算法。所提算法結合子空間旋轉技術（SRT,subspace rotation technique）[14]，通過對信號噪聲子空間的旋轉獲得降維噪聲子空間；所構造的降維噪聲子空間與擴展后陣列流型矩陣張成的空間具有正交性，利用該正交性和變量分離可將NC-MUSIC 算法的二維譜峰搜索轉化為一維譜峰搜索。所提算法在保持DOA 估計性能的基礎上，可將算法運算復雜度降至NC-MUSIC 算法運算復雜度的5%以下；對于大陣元情況，所提算法的計算效率提升明顯。

2 數據模型及非圓信號的NC-MUSIC 算法

2.1 數據模型

非圓信號是現代通信系統中的一種常見信號，其具有偽協方差不為0 的特征，即E{S2(t)}≠0（S(t)為非圓信號）。利用這一特征可通過增加虛擬陣元的個數，擴展陣列的有效孔徑。常見的BPSK 信號、AM 信號、MASK 信號等非圓信號的非圓率均為1。對于最大非圓率（即非圓率為1）信號，由于理想情況下其經過解調后所得信號為實信號，考慮實際中傳輸信道對信號的影響，經解調后的信號模型為S(t)=SR(t)ej?，其中，SR(t)為實信號，?為信號初相與傳輸信道附加相位之和[7-13]。假設有K個互不相關的窄帶最大非圓率信號S1(t),S2(t),…,SK(t)分別以方向θ1,θ2,…,θK同時入射至一個M元均勻線陣，陣列陣元間距為d，陣列中的天線均為全向天線，天線增益均為單位增益。均勻線陣陣列結構如圖1 所示。

圖1 均勻線陣陣列結構

選定最左側陣元為參考陣元，則該均勻線陣的接收信號可以表示為

其中，信源矢量S(t)=[S1(t),S2(t),…,SK(t)]T∈CK×1，；陣列流型矩陣A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θK)]∈CM×K，導向矢量，λ為信號載波波長；，?k(k=1,2,…,K)為第k個窄帶非圓信號的非圓相位；加性高斯白噪聲矢量。

由于非圓信號具有E{S(t)ST(t)}≠0 和E{S*(t)SH(t)}≠0 的性質，故可將接收信號X(t)與其共軛X＊(t)串聯，通過重構接收信號矩陣來增加可利用的陣元個數[10-15]。重構后的接收信號Y(t)為

其中，B和N0(t)分別為

2.2 非圓信號的MUSIC 算法

重構后的接收信號的協方差矩陣為

實際應用中通常采用接收信號X(t)的L次快拍X(n) (n=1,2,…,L)估計協方差矩陣RY，即

其中，

對式(7)所示的空間譜函數關于入射角θ和非圓相位?進行二維譜峰搜索，所得K個極大值對應的入射角θ即為信號的DOA。NC-MUSIC 算法通過虛擬陣列的方法擴大了陣列的有效孔徑[10-11]，極大地提高了DOA 估計的空間分辨率；同時，煩瑣的二維譜峰搜索帶來了極高的運算復雜度，約束了其在實際工程中的應用。

3 結合SRT 的SRTRD-NC-MUSIC 算法

NC-MUSIC 算法利用非圓信號偽協方差矩陣不為零的特性重構接收信號的協方差矩陣，根據信號子空間和噪聲子空間的正交性構造二維空間譜函數估計非圓信號的DOA。該算法以增加虛擬陣元的方法提高了DOA 估計的精度，同時也帶來了煩瑣的二維譜峰搜索[11-12]。本文所提算法——SRTRD-NC-MUSIC 算法以降低非圓信號NC-MUSIC 算法的運算復雜度為目標，結合SRT 實現快速估計非圓信號DOA。SRTRD-NC-MUSIC 算法分為2 個步驟：首先，對噪聲子空間矩陣按行分塊，利用SRT 構造降維噪聲子空間；然后，根據所構造的降維噪聲子空間與擴展后陣列流型矩陣張成空間的正交性，結合變量分離把NC-MUSIC 算法的二維譜峰搜索轉化為一維譜峰搜索。SRTRD-NC-MUSIC 算法在將二維譜峰搜索轉化為一維譜峰搜索的同時，通過構造降維噪聲子空間有效避免了一維譜峰搜索中的冗余計算。

3.1 子空間旋轉及重構噪聲子空間

對2M×(2M?K)維的噪聲子空間進行分塊處理，可得

3.2 構造降維空間譜函數

通過搜索f(θ,?)的極小值，即可獲得信號DOA 的估計。將b(θ,?)按式(13)進行變量分離，即

因此，可構造出新的一維空間譜函數為

對式(16)構造的空間譜函數進行譜峰搜索，所得K個極大值對應的角度θ即為信號DOA 的估計。與NC-MUSIC 算法相比，SRTRD-NC-MUSIC 算法通過旋轉噪聲子空間降低了噪聲子空間的維數，且只需進行一維譜峰搜索即可估計信號DOA。后文分析將表明，SRTRD-NC-MUSIC 算法可以在保證DOA 估計精度的前提下，降低NC-MUSIC 算法的運算復雜度，大幅提升計算效率。

3.3 SRTRD-NC-MUSIC 算法化簡

將式(8)代入式(9)，可得

對2×2M維矩陣按式(18)進行劃分，即

將式(19)代入式(17)和式(18)，可得

進一步將式(20)代入式(16)，并省略式中角度θ的標記，可得

因此，SRTRD-NC-MUSIC 算法可化簡為

對比式(7)和式(22)可得，SRTRD-NC-MUSIC算法不僅將NC-MUSIC 算法中的二維譜峰搜索轉化為一維譜峰搜索，而且通過矩陣分塊和子空間旋轉，有效降低了噪聲子空間的維數，進一步去除了一維譜峰搜索中的冗余計算。

3.4 運算復雜度分析

本文采用復數乘法的數量來衡量算法的運算復雜度[12-14]。NC-MUSIC 算法和 SRTRD-NCMUSIC 算法均包含對協方差矩陣的特征值分解。根據文獻[18]所提的快速子空間分解法可得，矩陣進行特征值分解的運算復雜度為O(4M2K)。對比NC-MUSIC 算法和SRTRD-NC-MUSIC 算法可知，SRTRD-NC-MUSIC 算法需額外構造新噪聲子空間和計算。已知為2M×(2M?K)維矩陣，為(M+1)×(2M?K)維矩陣，故構造所需的運算復雜度為O[(M?1)(M+1)(2M?K)]+O[2M(2M?K)][14]。

NC-MUSIC 算法和SRTRD-NC-MUSIC 算法均包含譜峰搜索過程。在譜峰搜索階段，NC-MUSIC算法需同時對入射角θ和非圓相位?進行二維譜峰搜索。假設在角度搜索范圍和[0,2π]非圓相位搜索范圍內總的搜索角度數均為J，則NC-MUSIC 算法完成譜峰搜索所需的運算復雜度為O[J2(2M+1)(2M?K)]。根據SRTRD-NC-MUSIC 算法的式(22)進行譜峰搜索時，計算的運算復雜度為O[M(M+1)]，計算的運算復雜度為O(M)，計算的運算復雜度為O(M2+1)，則SRTRD-NC-MUSIC 算法完成譜峰搜索所需的運算復雜度為O[J(2M2+2M+1)]。

綜上，NC-MUSIC 算法和SRTRD-NC-MUSIC算法總的運算復雜度分別為

實際中，通常有J?M＞K，故可將式(24)近似為

圖2 對比了不同陣元數和信源數下NC-MUSIC算法、RD-NC-MUSIC 算法[11]和 SRTRD-NCMUSIC 算法的運算復雜度。圖2 中，總搜索角度數J=1 000。RD-NC-MUSIC 算法的運算復雜度為[11]。可見，3 種算法的運算復雜度都隨著陣元數增加而增大。與NC-MUSIC 算法相比，SRTRD-NC-MUSIC 算法大幅降低了算法運算復雜度，尤其是在陣元數目較多的情況下，SRTRD-NC-MUSIC 算法的計算效率優勢更明顯；同時，SRTRD-NC-MUSIC 算法的運算量僅為RD-NC-MUSIC 算法的運算量的25%左右。

圖2 不同算法運算復雜度與陣元數M 和信源數K 之間的關系

3.5 算法實施步驟

根據上述分析可得，SRTRD-NC-MUSIC 算法的具體實施步驟如下。

步驟1根據陣列接收信號X(t)的L次快拍X(n)(n=1,2,…,L)和式(2)重構接收矩陣Y(n)。

步驟2按照式(5)計算重構后接收信號協方差矩陣的估計，并根據式(6)對進行特征值分解，獲得噪聲子空間。

步驟3根據式(8)對進行分塊處理，同時根據式(9)和式(18)分別構造新的噪聲子空間和矩陣。

步驟4根據式(22)構造一維空間譜函數PSRTRD-NC-MUSIC(θ)。

步驟5確定步驟4 中PSRTRD-NC-MUSIC(θ)的R個極大值，這R個極大值對應的角度即為入射信號DOA 的估計。

4 仿真結果與分析

下面通過計算機仿真驗證SRTRD-NC-MUSIC 算法的有效性，并與NC-MUSIC 算法、RD-NC-MUSIC算法進行比較分析。實驗中接收陣列采用均勻線陣（其中，圖3～圖7 的陣元數目均固定為8），陣元間距d=0.5λ，入射信號為等功率的窄帶BPSK 信號，噪聲為加性高斯白噪聲。各實驗結果均采用3 000次蒙特卡羅實驗的統計平均。定義均方根誤差（RMSE,root mean square error）為

其中，θi和分別為信號入射角的真實值和估計值，Nm為蒙特卡羅仿真的次數。對于來波方向相近的2 個信號，如果滿足

即認為成功分辨2 個入射信號。其中，θ1和θ2分別為2 個信號的來波方向，P(·)為空間譜函數。

圖3給出了SRTRD-NC-MUSIC算法和NC-MUSIC算法的DOA 估計效果。選定信號入射角分別為?40°、?20°和10°，信噪比（SNR,signal-to-noise ratio）為 5 dB，快拍數為 1 000。由圖 3 可看出，SRTRD-NC-MUSIC 算法可以準確有效地估計出入射信號的 DOA。與 NC-MUSIC 算法相比，SRTRD-NC-MUSIC 算法估計的空間譜峰更尖銳，兩者估計精度基本一致；同時，SRTRD-NC-MUSIC算法的運算復雜度快速減小，計算效率顯著提升。

選定信號入射角分別為?20°和15°，圖4 和圖5分別給出了SRTRD-NC-MUSIC 算法、NC-MUSIC算法和RD-NC-MUSIC 算法的估計誤差隨信噪比和快拍數的變化對比。圖4 固定快拍數為500，圖5固定信噪比為10 dB。從圖4 可以看出，3 種算法的估計誤差均隨信源信噪比的增加而減小；同時，由于SRTRD-NC-MUSIC 算法將NC-MUSIC 算法中的二維譜峰搜索轉化為一維譜峰搜索，故其估計性能較NC-MUSIC 算法略差，但整體較接近NC-MUSIC算法的估計性能，且優于RD-NC-MUSIC 算法的估計性能。由圖5 可得，隨著快拍數的增加，重構后的接收信號的協方差矩陣可更加精確地估計，故3 種算法的估計誤差都有所減小；且SRTRD-NC-MUSIC 算法的估計性能更接近NC-MUSIC 算法的估計性能。由此可見，SRTRD-NC-MUSIC 算法計算效率的提高并未以過大地犧牲估計精度的方式換取。

圖3 SNR=5 dB 時SRTRD-NC-MUSIC 算法和NC-MUSIC 算法的DOA估計效果

圖4 不同算法的估計誤差與信噪比的關系

圖5 不同算法的估計誤差與快拍數的關系

圖6 和圖7 的信號入射角均分別固定為18°和20°，快拍數為500。圖6 對比了不同信噪比下SRTRD-NC-MUSIC 算法、NC-MUSIC 算法和RD-NC-MUSIC 算法成功分辨出2 個靠近目標的概率。由圖6 可見，在低信噪比（SNR＜0）情況下，SRTRD-NC-MUSIC 算法的分辨成功率明顯高于NC-MUSIC 算法和RD-NC-MUSIC 算法，這是因為SRTRD-NC-MUSIC 算法通過構造降維噪聲子空間改善了信號子空間與噪聲子空間的正交性，且降維噪聲子空間的維度下降，使其空間譜變得更尖銳。故相比于其他2 種算法，SRTRD-NC-MUSIC 算法分辨2個靠近目標的能力更強。圖7給出了SNR=5 dB時SRTRD-NC-MUSIC 算法與NC-MUSIC 算法的10 次疊加空間譜。由圖7 可得，SRTRD-NC-MUSIC算法估計的空間譜峰比NC-MUSIC 算法更尖銳，分辨相近來波方向上信號的能力更強，驗證了圖6 的實驗結果。

圖6 不同算法的分辨成功概率與信噪比的關系

圖7 SRTRD-NC-MUSIC 算法與NC-MUSIC 算法的疊加空間譜

圖8 對比了不同陣元數目下采用SRTRD-NCMUSIC 算法、NC-MUSIC 算法和RD-NC-MUSIC算法完成DOA 估計的計算機時間開銷。圖8(a)為SRTRD-NC-MUSIC 算法與NC-MUSIC 算法的仿真時間對比，圖8(b)為SRTRD-NC-MUSIC 算法與RD-NC-MUSIC 算法的仿真時間對比。選取信號入射角分別為?10°和30°，角度搜索間隔為0.05°，SNR=10 dB，快拍數為500。以Intel(R) Core(TM)i5-5300U 處理器，2.3 GHz CPU，4 GB 內存的PC平臺運行3 種算法的MATLAB 程序。由圖8 可看出，SRTRD-NC-MUSIC 算法的計算機時間開銷顯著小于其他2 種算法。同時，3 種算法的時間開銷均隨陣元數增加而增大；SRTRD-NC-MUSIC 算法的計算效率優勢隨陣元數增加更明顯。這與上文運算復雜度分析部分的現象一致。圖8(a)中，由于SRTRD-NC-MUSIC 算法將NC-MUSIC 算法的二維譜峰搜索轉化為一維譜峰搜索，且利用噪聲子空間的秩虧特性，通過構造降維噪聲子空間避免了一維譜峰搜索中的冗余計算，故SRTRD-NC-MUSIC 算法可將算法復雜度降低至NC-MUSIC 算法運算復雜度的5%以下。圖8(b)中，與RD-NC-MUSIC 算法相比，SRTRD-NC-MUSIC 算法構造的降維噪聲子空間維度下降，去除了一維譜峰搜索中的冗余計算，故SRTRD-NC-MUSIC 算法可將算法復雜度降低至RD-NC-MUSIC 算法運算復雜度的25%以下，大幅提高算法的計算效率。

圖8 不同算法的計算機時間開銷與陣元數的關系

5 結束語

本文以降低非圓信號NC-MUSIC 算法的運算復雜度為目標，提出了一種結合子空間旋轉的非圓信號快速DOA 估計算法。SRTRD-NC-MUSIC 算法對噪聲子空間按行分塊，并通過子空間旋轉的方法構造降維噪聲子空間；在將二維譜峰搜索轉化為一維譜峰搜索的同時，利用降維噪聲子空間有效避免了一維譜峰搜索中的冗余計算。通過實驗仿真和運算復雜度分析可以看出，SRTRD-NC-MUSIC 算法能夠在保持 DOA 估計性能的前提下大幅降低NC-MUSIC 算法的運算復雜度，顯著提高算法的計算效率；特別是在陣元孔徑較大的場景下，SRTRDNC-MUSIC 算法計算效率提升更明顯。