淺說勾股定理的證法

文 顧云霞

勾股定理被視為幾何學中的璀璨明珠，千古不衰，自古以來，其不僅運用廣泛，而且證明方法多種多樣，展示出它迷人的魅力。據統計，勾股定理有500多種證明方法，是證明方法最多的定理。

圖1

圖2

圖3

我國證明勾股定理的第一人是三國的趙爽，他的“勾股弦方圖”（如圖1）構思巧妙，推理嚴謹。數學家華羅庚曾提出把“勾股弦方圖”帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”第一次“談話”的語言。如圖1，正方形ABCD的面積c2被剖分為4個“朱實”和1個“黃實”，即a2=a2+b2，即直角三角形ABE斜邊的平方等于兩直角邊的平方和。

趙爽已經證出了勾股定理，但數學家們并沒有停止步伐，而是努力尋求不一樣的奇妙證法。

魏晉數學家劉徽評注《九章算術》中的“勾股章”時，曾用“以盈補虛，出入相補”的辦法做過證明（如圖2）。注文是：勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也。清代數學家李潢遵從劉徽的“令出入相補，各從其類”原理，結合“旋轉變換”（如圖3），令△ACB繞點A逆時針旋轉90°至△AC′B′，再令△DFG繞點D逆時針轉動90°至△DF′G′，“其余不移動也”，最后令陰影的小三角形進入弦方而證之；同時代數學家李銳，運用了“平移變換”證明，其大、中、小三類三角形只需要通過平移出入弦方相補的位置，圖形清晰，一目了然（如圖4）。

圖4

各種“出入相補型”證法所體現出來的“以形證數，數形結合”的思想方法，在數學史上具有獨特的貢獻和地位。其他數學家的證明方法各有千秋，限于篇幅，這里就不一一列舉了，同學們若感興趣可查閱數學史書研究一番。