線段求值不簡單 勾股定理來引路

文 顧晶晶

勾股定理即直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。眾所周知，其不僅歷史悠久，而且應(yīng)用廣泛。在求線段的長時(shí)，將勾股定理與一些基本圖形或一些基本數(shù)學(xué)思想如方程思想、數(shù)形結(jié)合、建模思想等相結(jié)合，能為線段求值“引路”助力，可謂簡約而不簡單。

一、構(gòu)造基本圖形

例1如圖1，正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)在相互平行的四條直線l1、l2、l3、l4上，且l1與l2，l3與l4之間的距離分別為1，l2與l3之間的距離為2，求AD的長。

圖1

【解析】因?yàn)橐阎猯1與l2之間的距離為1，所以我們可以賦予AD一個(gè)適當(dāng)?shù)那笾怠碍h(huán)境”：過A作AE⊥l1，垂足為E，則AD是Rt△ADE的一條邊。已知AE=1，則由勾股定理可知，求出DE的長即可解決問題。

我們回看已知條件，不難發(fā)現(xiàn)，l1與l3之間的距離為3。結(jié)合正方形的性質(zhì)，過點(diǎn)C作CF⊥l1，垂足為F。由全等三角形的基本圖形“K”字形，我們可以證得△ADE≌△DCF（AAS），則DE=CF=3。

所以，在Rt△ADE中。

二、結(jié)合方程思想

例2如圖2，折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的長。

圖2

【解析】由矩形可得直角，所以EC可放在Rt△CEF中解決，那么，由勾股定理可知，我們需要求出EF、CF的值。

由折疊可知：AF=AD=10，DE=EF。在Rt△ABF中所以CF=4。如何求EF的長？我們發(fā)現(xiàn)，EF與EC存在數(shù)量關(guān)系：EF+EC=ED+EC=CD=8，所以，勾股定理為“引路人”，方程為“鋪路石”。設(shè)CE=x，則EF=8-x，由勾股定理得方程：x2+42=（8-x）2，不難求得x=3，即CE=3cm。

三、數(shù)形結(jié)合

例3求代數(shù)式的最小值。

【解析】我們觀察式子，發(fā)現(xiàn)其形如勾股定理中，已知兩條直角邊a、b，求斜邊c的公式，即c要求的代數(shù)式的前半部分可以看作直角邊分別是x和5的直角三角形的斜邊，后半部分可以看作直角邊分別是6-x和3的直角三角形的斜邊。

我們發(fā)現(xiàn)，x的值是變化的，6-x的值也在變化，但動(dòng)中有定，兩者的和是個(gè)定值6。因此，數(shù)形結(jié)合思想油然而生。我們把“式”變成“形”，構(gòu)造Rt△ABC和Rt△DEF，使直角邊BC和EF在同一直線上，且點(diǎn)B、E重合（如圖3所示）。

圖3

則 有CF=BC+EF=x+（6-x）=6，AC=5，DF=3，問題轉(zhuǎn)化成：點(diǎn)B在線段CF的何處時(shí)，AB+DB最短？

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，連接AD，則線段AD就是AB+DB的最小值。那如何求AD呢？

我們賦予AD一個(gè)有直角三角形的求值“環(huán)境”：作AG⊥DF交DF的延長線于G。所以，在Rt△ADG中，由勾股定理可得，AD所以，原代數(shù)式的最小值為10。

同學(xué)們，勾股定理為線段求值創(chuàng)造了一個(gè)良好的求值平臺(tái)，我們?cè)谝院蠼忸}過程中還要繼續(xù)多思考，多應(yīng)用，多探究，慢慢體悟其中的奧秘。