勾股定理
——“數”與“形”的紐帶

文 徐松兵

數學家華羅庚說過，數缺形時少直觀，形少數時難入微。我們本章學習的勾股定理就真正做到了“數”與“形”的完美結合，下面讓我們一起來感受一下。

一、以形解數

例1在數軸上確定表示的對應點。

【解析】眾所周知，數軸上的點除了可以表示有理數，也可以表示無理數。如何在數軸上確定表示的點呢？我們在學習勾股定理時，利用勾股定理可以作出長為、等的線段，依次做下去，總可以作出長為的線段（如圖1）。除此之外，我們還可以聯想到數的拆分：5=1+4或者5=9-4（同學們可以思考一下：為什么找1、4、9），即可以考慮在直角三角形中直接構造長為的邊。

方法1如圖1，在點A處作AB⊥OA，且AB=1，則OB=；作CB⊥OB，且CB=1，則OC=；作DC⊥OC，且DC=1，則OD=2；作DE⊥OD，且DE=1，則OE=。以點O為圓心，OE的長為半徑作弧，交數軸于點M，則點M所對應的數為 5。

圖1

圖2

圖3

方法2如圖2，考慮直接構造直角邊長分別為1和2的直角三角形，則斜邊長為。

方法3如圖3，構造斜邊長為3、直角邊長為2的直角三角形，則另一條直角邊長為。

【歸納】“以形助數”，將數量關系和幾何圖形巧妙結合，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，有助于把握數學問題的本質，發現問題中隱含的意義。

二、以數解形

例2如圖4，AB為一棵大樹，在樹上距離地面10m的點D處有兩只猴子，它們同時發現地面上的C點處有一筐水果。一只猴子從D處向上爬到樹頂A處，利用掛在A處的滑繩AC滑到C處，另一只猴子從D處滑到地面B，再由B跑到C。已知兩只猴子的路程都是15m，求樹高AB。

圖4

【解析】Rt△ABC中，∠B=90°，則滿足AB2+BC2=AC2。設AD=x，根據兩只猴子經過的路程都是15m，建立等量關系，構造方程即可解決。

解：設AD=x，則AC=15-x，由BD=10，得BC=5，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（10+x）2+52=（15-x）2，得x=2，即AD=2，所以AB=AD+DB=2+10=12m。答略。

【歸納】方程歷來是研究數學的一個重要工具。勾股定理反映了直角三角形中三邊的關系，在其應用中，最常見也是最基本的一類問題就是，已知兩邊，求第三邊，或關于此類問題的變式。方程思想在此類問題的求解過程中得到了廣泛的運用。用字母表示線段，用方程解決問題，有效地溝通線段之間的數量關系，這種通過代數方法解決幾何問題的策略，有助于解題思路的尋求和優化。

三、以形得數，以數定形

例3如圖5，在正方形ABCD中，點E是CD的中點，點F是邊BC上的一點且FC=，求證：∠FEA=90°。

圖5

【解析】勾股定理的逆定理是證明一個三角形是直角三角形或一個角是直角常用的方法。連接AF，若設正方形的邊長為4a，則線段FC、EC、DE、BF的長應運而生，利用勾股定理，線段AE、EF、AF也可以用含a的代數式表示出來，再利用勾股定理的逆定理即可得結論。

證明：如圖5，連接AF，設正方形ABCD的邊長為4a。由題意得CE=DE=2a，CF=a，BF=3a。在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2=16a2+4a2=20a2。同理，在 Rt△ABF中，AF2=25a2；在Rt△ECF中，EF2=5a2。在△AEF中，AE2+EF2=AF2，所以∠FEA=90°。

勾股定理及其逆定理揭示了直角三角形的三邊關系，其本身就擁有了數形兼備的特點，無論是定理的證明還是定理的運用，都充分展示了數與形的完美結合。