加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)建模，豐富數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵

趙建聰

（河北省唐縣第一中學(xué)，河北 唐縣 072350）

數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心要素之一，關(guān)于這一點，基本上沒有什么不同的觀點。然而這并不等于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實際中數(shù)學(xué)建模就進(jìn)行得很好，課程改革十多年來形成的一個重要認(rèn)識就是，當(dāng)一個重要的數(shù)學(xué)概念被人們不斷地重復(fù)的時候，可能這個概念的本質(zhì)含義已經(jīng)被人們忽視了。

一、從數(shù)學(xué)模型到數(shù)學(xué)建模

有人說，有數(shù)學(xué)應(yīng)用的地方就有數(shù)學(xué)建模！這一論斷可以給高中數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)有著很大的啟發(fā)。說實話，筆者理解數(shù)學(xué)建模時常常想到的就是這樣的一句話。由這一論斷可知，數(shù)學(xué)建模主要是指向數(shù)學(xué)應(yīng)用的，也就是說在數(shù)學(xué)應(yīng)用的過程中數(shù)學(xué)建模才體現(xiàn)出了它強(qiáng)大的作用。這里有兩個核心概念需要界定：一是數(shù)學(xué)模型；二是數(shù)學(xué)建模。顯然，建模是一個動態(tài)的過程，而模型是一個相對靜態(tài)的概念。

先來看數(shù)學(xué)模型。什么是數(shù)學(xué)模型呢？一般認(rèn)為，當(dāng)人們需要從數(shù)、量的角度解決某個實際問題時，往往需要通過調(diào)查、分析的手段了解研究對象的數(shù)學(xué)信息，然后進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象與簡化，并尋找其中內(nèi)在的數(shù)學(xué)規(guī)律，然后用數(shù)學(xué)語言來描述這個規(guī)律，以形成一個數(shù)學(xué)模型。其實，對于教師來說，這一描述更多的是一種概念性敘述，而數(shù)學(xué)教師對于數(shù)學(xué)模型的默會知識一般是比較豐富的，只是需要強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)模型是有著嚴(yán)格的定義的，其必須面向數(shù)學(xué)應(yīng)用，其必須經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象的過程，其最終體現(xiàn)為用數(shù)學(xué)信息去描述實際問題。數(shù)學(xué)模型還有一種更為簡潔的描述：用數(shù)學(xué)語言（包括數(shù)學(xué)公式）描述或模仿實際問題中的數(shù)量關(guān)系、空間形式的數(shù)學(xué)架構(gòu)。

那什么是數(shù)學(xué)建模呢？顯而易見，建立數(shù)學(xué)模型的過程，就稱之為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模是一個充滿著數(shù)學(xué)智慧的過程，從建模的順序角度來看，其過程一般是這樣的：實際情境——提出問題——數(shù)學(xué)模型——數(shù)學(xué)結(jié)果——結(jié)果檢驗——結(jié)果運用。其中在結(jié)果檢驗之后如果發(fā)現(xiàn)存在問題，這個時候就不能走向結(jié)果運用，而應(yīng)當(dāng)回到實際情境，重新去提出問題并重新建立數(shù)學(xué)模型（這相當(dāng)于一個循環(huán)語句）。從這一流程來看，數(shù)學(xué)建模可以簡述為“用數(shù)學(xué)知識模擬現(xiàn)實的過程”。

總結(jié)以上闡述可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域的。這意味著數(shù)學(xué)新知建立過程中是需要慎談數(shù)學(xué)建模的（當(dāng)然也可能存在數(shù)學(xué)建模的過程，即在新知識建立過程中借助于已有的知識來為新知提供基礎(chǔ)的過程）；也意味著數(shù)學(xué)建模的核心是將實際問題數(shù)學(xué)化，涉及數(shù)學(xué)抽象以輔助模型建立等。下面將詳細(xì)論述。

二、數(shù)學(xué)建模的過程與例析

嚴(yán)格來說，數(shù)學(xué)建模需要經(jīng)歷一個嚴(yán)密的過程。這個過程往往分為多個步驟，下面來說明。

第一步：模型準(zhǔn)備。這一步的關(guān)鍵在于了解數(shù)學(xué)問題（應(yīng)用）的背景，尋找其實際意義及其中的有用信息。

第二步：模型假設(shè)與建立。根據(jù)模型準(zhǔn)備經(jīng)過假設(shè)的過程并建立模型，這一步需要用到一些重要的數(shù)學(xué)工具（公式定理等），最終目標(biāo)是建立一個合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即數(shù)學(xué)模型。這一步是數(shù)學(xué)建模的核心步驟，在本實例中應(yīng)當(dāng)說模型的建立一般不會出現(xiàn)太大的問題，因此在后面的模型檢驗中就不需要花費太多的精力，如果遇到更為復(fù)雜的應(yīng)用問題，不像本實例這樣一目了然，比如說本實例中可以將一些具體的數(shù)據(jù)省略，或者讓簡諧振動變得更隱蔽一些，那在模型假設(shè)與建立時就需要更多的精力與智慧。

第三步：模型求解與分析。這一步的關(guān)鍵是將實例中的信息（參數(shù)）代入模型當(dāng)中去。關(guān)于這一點，上述步驟中已經(jīng)有所描述，此處不再贅述。

第四步：模型檢驗。即將模型的分析結(jié)果與實際情形進(jìn)行比較，以此判斷模型建立的合理性。檢驗的重要途徑是看根據(jù)目前建立的模型所得到的結(jié)果是否具有實例角度的實際意義，如果吻合度好，則說明模型建立成功，否則失敗，一旦模型建立失敗，就進(jìn)入循環(huán)的階段。

第五步：模型應(yīng)用。這是一個與具體實例相關(guān)的步驟，一般沒有固定的描述。在本實例中，模型應(yīng)用主要體現(xiàn)在對第二問的回答上，事實上第二問可以無限延伸，任何一個時刻時物體的位置都可以由建立的數(shù)學(xué)模型計算出來。

三、數(shù)學(xué)建模的教學(xué)與反思

在多年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)有著重要的作用。如上所說，數(shù)學(xué)建模具有綜合性，因此其能夠促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的綜合運用能力。但實際教學(xué)中的挑戰(zhàn)也是非常明顯的，當(dāng)下學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一個明顯的不足，那就是學(xué)生對知識之間的聯(lián)系認(rèn)識不足，往往滿足于利用剛剛所學(xué)的知識解決眼前的問題，這對于數(shù)學(xué)建模來說提出了很大的挑戰(zhàn)。如何從學(xué)生的記憶系統(tǒng)中提取出有效的信息以完成數(shù)學(xué)模型的建立，是一個很大的問題；此外，強(qiáng)大的應(yīng)試壓力讓學(xué)生更多地滿足于一般的數(shù)學(xué)習(xí)題的解答，對數(shù)學(xué)建模的積極性有時不太高（當(dāng)然，其中數(shù)學(xué)建模的復(fù)雜性也影響了學(xué)生的興趣）。

反思這些現(xiàn)象，筆者以為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的建模工作更加具有重要性與必要性。無論是從應(yīng)試的角度來看，還是從學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高的角度來看，數(shù)學(xué)建模本身就是數(shù)學(xué)綜合能力的體現(xiàn)，也是衡量數(shù)學(xué)教師教學(xué)水平的重要指標(biāo)。我們認(rèn)為，只有當(dāng)自己所教的學(xué)生能夠用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識有效地解決實際問題時，數(shù)學(xué)教學(xué)才是成功的。因此，無論是數(shù)學(xué)新知建立的過程，還是數(shù)學(xué)應(yīng)用的過程，都需要在原有知識基礎(chǔ)上讓學(xué)生生成建模的意識，并在數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的過程中生成能力。

值得一提的是，在數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的解決過程中，通過一些專題訓(xùn)練來提高學(xué)生的建模能力是值得嘗試的策略。筆者的教學(xué)經(jīng)驗表明，學(xué)生在專題訓(xùn)練的過程中，建模的意識會比較強(qiáng)，建模的目標(biāo)也比較明確，在緊張的復(fù)習(xí)時間中抽出時間進(jìn)行專題訓(xùn)練，可能是一件事半功倍的事情。