淺析小學數學教學與數學思維

王霞

（河北省張家口市蔚縣楊莊窠鄉中心學校，河北 張家口 075700）

一、數學思維的基本形式：數學化

眾所周知，強調與現實生活的聯系正是新一輪數學課程改革的一個重要特征。數學課程的內容一定要充分考慮數學發展進程中人類的活動軌跡，貼近學生熟悉的現實生活，不斷溝通生活中的數學與教科書上數學的聯系，使生活和數學融為一體。但是，從更為深入的角度去分析，我們在此則又面臨著這樣一個問題，即應當如何去處理“日常數學”與“學校數學”之間的關系。例如，在幾何題材的教學中，無論是教師或學生都清楚地知道，我們的研究對象并非教師手中的那個木制三角尺，也不是在黑板上或紙上所畫的那個具體的三角形，而是更為一般的三角形的概念，這事實上就已包括了由現實原型向相應的“數學模式”的過渡。再例如，正整數加減法顯然具有多種不同的現實原型，如加法所對應的既可能是兩個量的聚合，也可能是同一個量的增加性變化，同樣地，減法所對應的既可能是兩個量的比較，也可能是同一個量的減少性變化；然而，在相應的數學表達式中所說的現實意義、包括不同現實原型之間的區別（例如，這究竟表現了“二元的靜態關系”還是“一元的動態變化”）則完全被忽視了：它們所對應的都是同一類型的表達式，如4+5=9、7-3=4 等，而這事實上就包括了由特殊到一般的重要過渡。

也正由于數學的直接研究對象是抽象的模式而非特殊的現實情景，這就為相應的“純數學研究”提供了現實的可能性。例如，就以上所提及的加減法運算而言，由于其中涉及三個不同的量（兩個加數與它們的和，或被減數、減數與它們的差），因此，從純數學的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問題，即如何依據其中的任意兩個量去求取第三個量。例如，就“量的比較”而言，除去兩個已知數的直接比較以外，我們顯然也可提出：“兩個數的差是3，其中較小的數是4，問另一個數是幾？”或者“兩個數的差是3，其中較大的數是4，問另一個數是幾？”我們在此事實上已由“具有明顯現實意義的量化模式”過渡到了“可能的量化模式”。

綜上可見，即使就正整數的加減法此類十分初等的題材而言，就已十分清楚地體現了數學思維的一些重要特點，特別是體現了在現實意義與純數學研究這兩者之間所存在的辯證關系。當然，從理論的角度看，我們在此又應考慮這樣的問題，即應當如何去認識所說的純數學研究的意義。特別是，我們是否應當明確肯定由“日常數學”過渡到“學校數學”的必要性，或是應當唯一地堅持立足于現實生活。

二、算術思維的基本形式 ：凝聚

具體地說，這正是現代關于數學思維研究的一項重要成果，即指明了所謂的“凝聚”，也即由“過程”向“對象”的轉化構成了算術以及代數思維的基本形式，這也就是說，在數學特別是算術和代數中有不少概念在最初是作為一個過程得到引進的，但最終卻又轉化成了一個對象——對此我們不僅可以具體地研究它們的性質，也可以此為直接對象去施行進一步的運算。例如，加減法在最初都是作為一種過程得到引進的，即代表了這樣的“輸入—輸出”過程：由兩個加數（被減數與減數）我們就可求得相應的和（差）；然而，隨著學習的深入，這些運算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個過程，而且也被認為是一個特定的數學對象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質，如交換律、結合律等，從而，就其心理表征而言，就已經歷了一個“凝聚”的過程，即由一個包含多個步驟的運作過程凝聚成了單一的數學對象。再如，有很多教師認為，分數應當定義為“兩個整數相除的值”而不是“兩個整數的比”，這事實上也可被看成包括了由過程向對象的轉變，這就是說，就分數的掌握而言我們不應停留于整數的除法這樣一種運算，而應將其直接看成一種數，我們可以此為對象去實施加減乘除等運算。

三、數學思維的一個重要特征 ：互補與整合

首先，我們應注意同一概念的不同解釋間的互補與整合。具體地說，與加減法一樣，有理數的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關系，商，算子或函數，度量，等等；但是，正如人們所已普遍認識到了的，就有理數的理解而言，關鍵恰又在于不應停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成互不相關、彼此獨立的；而應對有理數的各種解釋（或者說，相應的心理建構）很好地加以整合，也即應當將所有這些解釋都看成同一概念的不同側面，并能根據情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉換。例如，在教學中人們往往唯一地強調應從“部分與整體的關系”這一角度去理解有理數，特別是，分數常常被想象成“圓的一個部分”。然而，實踐表明，局限于這一心理圖像必然會造成一定的學習困難、甚至是嚴重的概念錯誤。

眾所周知，大力提倡解題策略的多樣化也是新一輪數學課程改革的一個重要特征：“由于學生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應當尊重學生的想法，鼓勵學生獨立思考，提倡計算方法的多樣化。”當然，在大力提倡解題策略多樣化的同時，我們還應明確肯定思維優化的必要性，這就是說，我們不應停留于對于不同方法在數量上的片面追求，而應通過多種方法的比較幫助學生學會鑒別什么是較好的方法，包括如何依據不同的情況靈活地去應用各種不同的方法。顯然，后者事實上也就從另一個角度更為清楚地表明了“互補與整合”確應被看成數學思維的一個重要特點。

綜上所述，即使是小學數學的教學內容也同樣體現了一些十分重要的數學思維形式及其特征性質，因此，在教學中我們應作出切實的努力以很好地落實“幫助學生學會基本的數學思想方法”這一重要目標。