淺談小學數學教學中的建模思想

王忠慧

（吉林省敦化市第三小學校，吉林 敦化 133700）

數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物地特征，數量關系和空間形式的一種數學結構。從廣義講，數學的概念，定理，規律，法則，公式，性質，數量關系式，圖表，程序等都是數學模型。從狹義上理解，數學模型指那些反映了特定問題或特定具體事物系統的數學關系結構，是相應系統中各變量及其相互關系的數學表達。它具有一般化、典型化、和精確化的特點。數學建模就是對實際問題進行抽象、簡化，建立模型，求解模型，解釋驗證的過程，是一種數學思考方法。

一、數學模型在小學數學中的具體體現

數學模型在小學數學中的應用雖簡單但無處不在。例如：數的表示（自然數列：0，1，2，….）；數的運算（a+b=c，c-a=b，c-b=a，c÷a=b，c÷b=a 等）；方程（a+b=c 等）；數量關系（時間、速度和路程：s=vt；數量、單價和總價：a=pn；正比例關系：y/x=k 等）；用字母表示公式（三角形面積；S=1/2ah；平行四邊形面積：S=ah；圓面積：S=πr2；長方體面積：V=abh 等）。

二、模型思想在小學數學教學中的滲透

（一）數概念模型

每一個數概念就是一個數學模型。自然數、分數、小數都是現實模型的抽象。

1.整數的直觀模型：教材中提供多種模型幫助學生經歷、感受建模過程，體會模型思想。（1）有結構的實物（十個是一捆，十個一捆是一大捆，如此等等；（2）數位筒；（3）計數器（算盤），在這一階段孩子對于數位的理解已經有抽象的成分在里面，并含有一定的位值思想；（4）數位表：在數位表上擺珠子，孩子理解數位表上的珠子的意義比上一個層次更加抽象；（5）半形象、半抽象的“數尺”、數軸、百數表。

2.分數的直觀模型。小學數學教材中分數有多種直觀模型：（1）實物模型：例如半杯牛奶、半個蘋果……分數概念的引入是通過“平均分”某個實物取其中的一份或幾份認識分數的，這些直觀模型即為分數的“實物模型；（2）面積模型：用面積的“部分—整體”表示分數。通過“平均分”某個“正方形”或者“圓”，取其中的一份或幾份（涂上“陰影”）認識分數的，這些直觀模型即為分數的“面積模型”。學生在三年級主要是借助面積模型初步認識分數；（3）集合模型：分數的集合模型需要學生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多個”看作“整體1”，所以是五年級學習分數的意義的重點，也是與三年級認識分數最大的不同。

（二）幾何圖形是模型

每一種圖形本身就是一種數學模型。點、線、面、基本的平面圖形、立體圖形的定義就是生活中幾何模型向抽象的數學模型的構建過程。平面圖形、立體圖形的周長、面積、體積的計算公式就是模型化思想滲透的重要途徑。例如：把立體圖形的面畫在紙上，這就是把生活中的現實模型抽象成數學研究的數學模型的過程。對這些數學模型進行分類，找出他們之間的聯系和區別。從而抽象出三邊形、四邊形、五邊形等圖形的定義。在分類中進一步建立數學模型。再針對四邊形進行二次分類，讓學生認識特殊的四邊形（平行四邊形、長方形、正方形、梯形）和一般的四邊形。計算公式是模型、模式與函數是模型、搭配、運算律、數學公式、“份總”關系、統籌問題、雞兔同籠問題、植樹問題、商不變的性質、工程問題、行程問題（行走中的數學、相遇問題）、烙餅問題、田忌賽馬等等都是模型。

三、新教材內容滲透與蘊含的數學思想方法

從一年級開始，各冊都有一單元進行滲透。例如：第二冊中《找規律：探索圖案和數字簡單的排列規律》蘊含著有序思維方式；第三冊中《簡單的排列：1、2能組成幾個兩位數？》蘊含著排列組合的數學思想；《猜一猜他們拿的是什么書？》蘊含著簡單推理的數學思維方法；第四冊《找規律：鋪地磚花紋的規律、等差數列的探究規律》蘊含著有序思維的數學方法；第五冊《3 個數字能擺成幾個三位數？》蘊含著排列組合的數學思想；第六冊《重疊問題：參加語文、數學小組的共幾人？》蘊含著集合思想；《等量代換：幾個蘋果與1 個西瓜一樣重？》蘊含著等量代換思想；第七冊《運籌問題：烙餅、沏茶、碼頭卸貨等問題》蘊含著運籌對策論；《對策問題：田忌賽馬》蘊含著優化思想；第八冊《植樹問題：兩端都種、兩端都不種、封閉方陣中種樹》等蘊含著化歸、數學建模思想；第九冊《數字編碼：郵政編碼、身份證編碼、編學號》等蘊含著數字編碼思想；第十冊《找次品：5 件、9 件物品中找次品》蘊含著優化思想、歸納推理；第十一冊《雞兔同籠問題、龜鶴同籠問題》等體現著化歸、數學建模思想；第十二冊《抽屜原理：4 支鉛筆放入3 個文具盒、5 本書放入2 個抽屜，怎么放？》蘊含著抽屜原理、數學建模思想。

從以上不難看出，小學生學習數學知識的過程，實際上是對一系列數學模型的理解、把握的過程。為了學生未來生活、工作和學習的需要，真正發揮教材作用，需要我們小學一線教師進一步更新觀念，加強學習，在教學中重視滲透模型化思想，幫助小學生建立并把握有關的數學模型，把握住數學的本質，讓學生的數學思維能力得到切實、有效的發展，進而提高學生的數學文化素養，煥發數學教學的生機，鑄造數學學科的靈魂。