探討反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

（山西省太原市魯藝中學(xué)校，山西 太原 030000）

一、反證法的概述

（一）反證法的基本理念

先對(duì)原命題進(jìn)行否定，然后再找出必要的矛盾，就可以對(duì)原命題進(jìn)行論證。也就是說(shuō)，在證明一個(gè)命題的時(shí)候，可以先假設(shè)命題結(jié)論的對(duì)立面是正確的，再由已知條件得出兩個(gè)相互矛盾的結(jié)論，或者與數(shù)學(xué)定理、公理、已知條件等相矛盾的結(jié)果，就可以說(shuō)假設(shè)不成立。而在說(shuō)明假設(shè)不成立的同時(shí)，也就代表著原命題的成立，這就是反證法。

（二）反證法的理論依據(jù)

反證法的理論依據(jù)為矛盾律和排中律。矛盾律的意思是，在同一個(gè)證明過(guò)程中，如果兩個(gè)相結(jié)論相互對(duì)立，那么其中一個(gè)必然是錯(cuò)誤的。而排中律的意思是，同一個(gè)命題只有兩種可能，要么為真，要么為假。排中律的特點(diǎn)是，解題者必須要有清晰、明確的思維，不僅要確定自己的思維邏輯，還要明確自己的立場(chǎng)。要想有效地運(yùn)用矛盾律和排中律解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，就一定要避免出現(xiàn)邏輯矛盾，如果邏輯思維不符合排中律，那么必然也不符合矛盾律。但是矛盾律更加強(qiáng)調(diào)當(dāng)兩個(gè)結(jié)論彼此對(duì)立的時(shí)候，其中一個(gè)結(jié)論必然是錯(cuò)誤的。而排中律則強(qiáng)調(diào)兩個(gè)結(jié)論相互否定，就會(huì)存在一定的正確結(jié)論。

（三）反證法的分類(lèi)

一般情況下，我們可以將反證法分為以下兩種。第一種是歸謬法，即對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定，如果只有一種情況，那么只要證明這種情況是錯(cuò)誤的，就可以證明原命題結(jié)論成立。第二種是窮舉法，即對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定，其結(jié)果有多種情況，那么就只能將所有情況進(jìn)行逐一否定，才能證明原命題結(jié)論成立。

二、反證法在初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用的重要性

（一）提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

反證法的解題思維與常規(guī)性的數(shù)學(xué)解題思維完全相反，所以反證法的應(yīng)用可以對(duì)學(xué)生的解題思維產(chǎn)生新的啟發(fā)，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。當(dāng)面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，學(xué)生往往會(huì)習(xí)慣性地運(yùn)用常規(guī)性方法展開(kāi)思考與分析，但是還有相當(dāng)一部分的數(shù)學(xué)問(wèn)題，很難通過(guò)常規(guī)方法獲得答案，只有從反面思考才能找到解題突破口。所以，在初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，反證法的應(yīng)用可以拓寬學(xué)生的解題思路，讓學(xué)生思考并嘗試更多非常規(guī)的解題方法。久而久之，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力也就得到了有效提高。

（二）推動(dòng)了數(shù)學(xué)教育的發(fā)展與進(jìn)步

面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果初中學(xué)生長(zhǎng)期使用正向思維，很容易形成一種定性思維，甚至對(duì)學(xué)生多樣化的思考方式產(chǎn)生限制，影響學(xué)生對(duì)問(wèn)題的多角度思考的同時(shí)，也讓學(xué)生對(duì)枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無(wú)法提起學(xué)習(xí)興趣。隨著新課程改革的不斷深化，在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)方面，對(duì)于學(xué)生也提出了更高的要求，即學(xué)生不僅要掌握足夠的基礎(chǔ)知識(shí)，為后期數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，還要學(xué)會(huì)多角度的分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思維獲得問(wèn)題答案。另外，掌握了反證法的應(yīng)用技巧的學(xué)生，還可以將這種數(shù)學(xué)思維應(yīng)用到日常生活中特殊問(wèn)題的解決當(dāng)中，而這正好為數(shù)學(xué)教育的發(fā)展提供了有力的支持。

三、反證法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用步驟

反證法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用步驟，主要有三步：第一反設(shè)，第二歸謬，第三結(jié)論。首先，反設(shè)，這是應(yīng)用反證法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)，反設(shè)的正確與否，直接影響著數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題進(jìn)度與解題結(jié)果。要想進(jìn)行正確的反設(shè)，第一要明確題設(shè)條件與結(jié)論，第二全面詳細(xì)地找出與結(jié)論相反的假設(shè)，第三對(duì)結(jié)論進(jìn)行肯定或者否定。為了提高反設(shè)的正確率，可以引導(dǎo)學(xué)生熟知常用的幾種互為否定詞。例如“是”的反義詞是“不是”，“都”的反義詞是“不都”，“大于”的反義詞是“不大于”，“小于”的反義詞是“不小于”，“有限”的反義詞是“存在”，“存在”的反義詞是“不存在”。另外，針對(duì)至少有1個(gè)，至多有n個(gè)，至多有1個(gè)等證明結(jié)論的反設(shè)，就需要用心琢磨，了解“一個(gè)也沒(méi)有”“最多有兩個(gè)”以及“至多有n個(gè)”的含義。其次，歸謬，這是應(yīng)用反證法正確解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵，也是應(yīng)用反證法的難點(diǎn)所在。主要是通過(guò)反設(shè)來(lái)得出矛盾，需要解題者明確推理方向反設(shè)后條件部分，明確如何找出矛盾。最后，結(jié)論，即通過(guò)反證法獲得預(yù)期結(jié)果。歸謬得出的矛盾是因?yàn)榉丛O(shè)才產(chǎn)生的問(wèn)題，并不是所謂的新理論。只有這樣，才能夠得出原命題成立的結(jié)論。

四、反證法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用注意事項(xiàng)

（一）正確否定結(jié)論

在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，要想巧妙地應(yīng)用反證法獲得問(wèn)題答案，必須要對(duì)結(jié)論進(jìn)行正確的否定，這是應(yīng)用反證法解題的前提。

（二）明確推理特點(diǎn)

在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，要想巧妙地應(yīng)用反證法獲得問(wèn)題答案，就需要先否定結(jié)論，再推導(dǎo)出矛盾。但是會(huì)出現(xiàn)什么樣的矛盾，或者推導(dǎo)到什么程度會(huì)出現(xiàn)矛盾具有一定的不確定性。但是可以通過(guò)相關(guān)領(lǐng)域的聯(lián)想來(lái)猜測(cè)矛盾的種類(lèi)。例如，如果題目是與平面幾何相關(guān)的問(wèn)題，那么就要聯(lián)想與平面幾何相關(guān)的公理、定理以及定義等。

（三）了解矛盾種類(lèi)

常見(jiàn)的矛盾主要有以下幾種形式：第一自相矛盾，第二與假設(shè)矛盾，第三與已知條件矛盾，第四與數(shù)學(xué)定理、公理以及定義矛盾。與直接證明法相比，反證法的應(yīng)用可以跨越一些解題阻礙，簡(jiǎn)化解題步驟，而且通過(guò)反設(shè)還可以增加解題條件，快速得出結(jié)論。

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)的解題實(shí)踐過(guò)程中，反證法是一種非常有效的數(shù)學(xué)解題方法，很多看似無(wú)從下手的問(wèn)題，使用反證法都可以迎刃而解，而且解題的效率非常高。但是反證法的應(yīng)用具有一定的難度，學(xué)生很難在短時(shí)間內(nèi)掌握。所以初中數(shù)學(xué)教師要講究一定的方式方法對(duì)反證法的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行教授，對(duì)反證法的概念、種類(lèi)、解題步驟以及適用的題型進(jìn)行充分詳細(xì)的講解和反復(fù)強(qiáng)調(diào)，讓學(xué)生形成深刻印象才能更好地應(yīng)用。