試論高中數學基本不等式解題技巧

宗輝

（江西省上饒市橫峰縣橫峰中學，江西 上饒 334300）

作為高中的一門重要學科，數學既具有較強的規律性，又具有較強的邏輯性，其中的不等式部分為高中數學學習中的重難點，同時也是高考數學的重要組成部分，能夠對考試成績產生重要影響。在高中生進行日常學習的過程中，如果不能夠對不等式的解題技巧進行準確掌握，解題速度將會降低，且數學成績難以得到提升。所以在對高中數學不等式進行學習的過程中，必須注重解題技巧中的規律和邏輯，以促使高中數學的學習效率能夠得到提升。

一、基本不等式

基本不等式主要應用于對函數的最值進行求解或是進行證明，使用文字對其進行表述，也就是“兩個正實數的算數平均數大于或等于它們的幾何平均數”。這一部分內容在高中數學中占據重要的地位，并且在考試中出現的概率極高。

二、巧妙換元，使用換元法對習題進行簡化

在對數學題進行解答的過程中，需要將其中的某一個算式視為一個統一的整體，使問題得到簡化，也就完成了對換元法的應用。

觀察和分析不等式證明問題后可以了解到，在對a,b,c之內的任意兩個進行互換之后，不等式并未發生變化，可見其屬于“對稱不等式”。若在對該題目進行解答的過程中有以下要求出現：x=b+c-a，y=c+a-b，z=a+b-c，那么原有的不等式即能夠轉換成為（x+y）·（y+z）·（z+x）≥8xyz，這一算式與已知不等式問題具有密切的關聯性，所以在對不等式問題進行證明時，可以對上述思路進行應用。

并且，在觀察和分析上述題目的過程中，可以得到b＜0，a＜-b，所以，不僅可以應用不等式性質對該問題進行解答，也可以采用特殊值法對該問題進行解答。

上述問題與不等式性質之間具有密切的關聯性，一般來說，指數、數字母型以及多項式等問題，均需以題設條件為基礎，采用特殊值法對問題進行解答，使解題過程具有更加良好的便捷性。

三、科學反證，對反證法進行深化理解

以正難則反原理為基礎提出反證法，該方法不僅已經在幾何問題中得到廣泛應用，也能夠有效應用于不等式問題的證明之中。

在對不等式問題進行證明的過程中，主要使用的方法為常規方法，但是對該方法進行應用步驟較為復雜，出現錯誤的概率相對較高，在一定程度上導致解題速度降低和練習時間延長。

四、運用線性規劃對不等式問題進行解決

在高中生開展日常數學學習的過程中，可以發現，線性規劃和不等式相結合的問題十分常見，在對這一類型題目進行解答的過程中，不僅需要對其中的最大值和最小值進行注意，還能夠發現這一類型題目與定義域和面積求解的知識點具有密切關聯性。所以在解答題目時，需要學生能夠對線性規劃與不等式性質進行熟練掌握，并能夠與定義域以及面積求解的知識進行有效的聯系，從而保障題目解答的正確性。

例：在a＞0，x、y均符合x≥1，y≥a（x-3）x-y≤3的條件下，若z=2x+y，且最小值為1，求a值。

對這一題目進行觀察和分析可以了解到，這一題目的重點在于對三直線確立的三角形以及相應面積的計算，并且因為已經率先給出了最小值，該情況與常規的最值求解具有顯著的差異性，所以必須對其中某一條直線的位置變量進行獲取，也就是需要將接替思路轉變，采用逆向思維對該題目進行解答。

解：在z=2x+y的情況下，其與目標A相重疊，此時最小值為1，A坐標為（1，-2a），由此可以得到，1=2-2a，a=12.

在對這一類型題目進行解答的過程中，需要對函數的最值進行注意，并及時發現其中存在的不等式關系，以對可行域范圍進行明確。在上述的題目之中，將a作為取值范圍，并對a＞0進行注意，可以得到y=a（x-3）過一、三象限，由此即可以對三角形可行域進行明確。

結束語

根據上文可以了解到，在對高中數學不等式進行學習的過程中，學生只有對解題技巧進行熟練掌握，同時保障解題思路和解題邏輯的正確，才能夠促使解題效率以及數學成績得到顯著的提升，進而有效提升自身的數學綜合素質和數學知識實踐應用能力。