基于計(jì)算機(jī)軟件仿真技術(shù)的可視化數(shù)學(xué)物理方程的差分解研究

王二琴，馬會(huì)芳

(太原師范學(xué)院物理系，山西 晉中 030619)

0 引言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)軟件和多媒體越來(lái)越多地介入我們的教學(xué)環(huán)節(jié)，也對(duì)教師、學(xué)生的計(jì)算機(jī)操作能力要求越來(lái)越高。針對(duì)數(shù)學(xué)物理方法這門(mén)課，如能熟練地使用計(jì)算機(jī)各種軟件和仿真技術(shù)，會(huì)使得推導(dǎo)冗長(zhǎng)、計(jì)算嚴(yán)格的數(shù)學(xué)物理方法課程變得靈動(dòng)、直觀(guān)、有趣的多。

1 數(shù)學(xué)物理方程在物理中的作用

數(shù)學(xué)物理方程[1-3]是由物理實(shí)際過(guò)程、工程、電信等具體問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)推導(dǎo)給出反映客觀(guān)物理量滿(mǎn)足隨時(shí)間、位置變換關(guān)系的一系列偏微分方程。如從18世紀(jì)初期由泰勒給出的一維波動(dòng)方程，到19世紀(jì)中期得到的三類(lèi)數(shù)學(xué)物理方程——三維波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和泊松方程；隨著時(shí)間的推移，給出更加復(fù)雜的高階方程和非線(xiàn)性偏微分方程等，都是基于實(shí)際的物理、工程問(wèn)題求解時(shí)得到的偏微分方程[3]。數(shù)學(xué)物理方程不僅是《數(shù)學(xué)物理方法》[1,3]的中心任務(wù)，也是由普通物理(力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、原子物理學(xué))過(guò)渡到四大力學(xué)(理論力學(xué)、熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、電動(dòng)力學(xué)、量子力學(xué))的銜接點(diǎn)，更是由理想情況到實(shí)際物理過(guò)程的橋梁。

對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)物理方法是本科階段公認(rèn)比較難學(xué)的一門(mén)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，不僅需要扎實(shí)的基礎(chǔ)物理學(xué)知識(shí)，還要求具有熟練的數(shù)學(xué)推導(dǎo)功底，對(duì)于數(shù)學(xué)物理方程的求解，還要求學(xué)生具備一定系統(tǒng)解決問(wèn)題的能力。但這是一門(mén)重要的基礎(chǔ)工具課，是學(xué)習(xí)后續(xù)課程的必備知識(shí)，是考研學(xué)生的敲門(mén)磚，也是各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域進(jìn)行基礎(chǔ)研究的重要工具。雖難卻有著重要的作用，迫使學(xué)生們不敢掉以輕心，迎難而上。

從教學(xué)經(jīng)歷中談以下幾點(diǎn)想法，一方面學(xué)習(xí)本課程的困難有：計(jì)算量煩瑣冗長(zhǎng)容易引起學(xué)生乏味，前期物理知識(shí)學(xué)習(xí)不透徹使得學(xué)生知其一不知其二，高數(shù)知識(shí)不扎實(shí)導(dǎo)致學(xué)習(xí)中困難重重，計(jì)算結(jié)果復(fù)雜和基礎(chǔ)知識(shí)不通透破壞學(xué)生物理圖像的建立，從而導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)中力不從心，問(wèn)題的集聚最終導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣的降低。另一方面?zhèn)鹘y(tǒng)教學(xué)的特點(diǎn)有：大量嚴(yán)格的推導(dǎo)和不熟悉知識(shí)的介入引起教與學(xué)的視覺(jué)疲憊，僅憑教師的描述和物理圖像未能直觀(guān)顯現(xiàn)容易擾亂學(xué)生學(xué)習(xí)思路，從而削弱學(xué)習(xí)動(dòng)力。這些問(wèn)題迫使教師改變教學(xué)思路，借助于新的技術(shù)手段給出直觀(guān)形象的案例幫助學(xué)生建立清晰、明了的知識(shí)構(gòu)架。

2 計(jì)算機(jī)仿真的廣泛應(yīng)用

計(jì)算機(jī)不僅廣泛地應(yīng)用于人們生活的各個(gè)領(lǐng)域，而且越來(lái)越多地滲入科研、教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)。科學(xué)研究中可采用蒙特卡洛方法、迭代法、差分法等，基于計(jì)算機(jī)軟件[4-7]給出理論上不可求或不好解的方程數(shù)值解；教學(xué)上教育工作者越來(lái)越多地結(jié)合計(jì)算機(jī)完成課前、課中和課后的各個(gè)環(huán)節(jié)，將更多不易理解的圖像、過(guò)程等采用計(jì)算機(jī)仿真呈現(xiàn)。

仿真[8]是借助于計(jì)算機(jī)給出系統(tǒng)中發(fā)生的本質(zhì)過(guò)程或直觀(guān)圖像，是一種重要的研究手段，可用于物理、工程、生態(tài)、管理等各方面。相比于實(shí)際過(guò)程的模擬，具有成本小、危險(xiǎn)系數(shù)低、方便、靈活、經(jīng)濟(jì)等特點(diǎn)。仿真在本科物理教學(xué)中也起著越來(lái)越重要的作用，如力學(xué)中機(jī)械振動(dòng)、機(jī)械波的模擬，特別是借助于波的疊加原理給出波的干涉、駐波、多普勒效應(yīng)等過(guò)程的仿真；而在學(xué)習(xí)光學(xué)的過(guò)程中，有大量的現(xiàn)象不能簡(jiǎn)單通過(guò)傳統(tǒng)教學(xué)直觀(guān)呈現(xiàn)，如楊氏雙縫干涉、劈尖干涉、單縫夫瑯禾費(fèi)衍射、衍射光柵等，借助于計(jì)算機(jī)仿真，能清楚地將推導(dǎo)結(jié)果與圖像對(duì)應(yīng)起來(lái)，從而幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)物理圖像，建構(gòu)起相關(guān)知識(shí)框架。

3 可視化的數(shù)理方程定解問(wèn)題

數(shù)學(xué)物理方程作為課程的重要知識(shí)點(diǎn)，其計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果將在教學(xué)和應(yīng)用中起到非常重要的作用。本研究利用中心差分法[9]，將數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題的方程和邊界條件近似地用差分方程表示，從而將微分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程，借助于Matlab[4-5]或Fortran[6]和Origin[7]軟件實(shí)現(xiàn)定解問(wèn)題的可視化解。具體解決的問(wèn)題有一維波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程。

3.1 一維波動(dòng)方程的定解問(wèn)題

波動(dòng)過(guò)程作為最常見(jiàn)且基本的物理問(wèn)題，給出一根長(zhǎng)為l的均勻弦，兩端固定，作不受外力的自由微小橫振動(dòng)。為了簡(jiǎn)單清楚地給出波的產(chǎn)生原因和傳播特點(diǎn)，接下來(lái)將該定解問(wèn)題從初始位移為已知函數(shù)而初始速度為零及初始速度為已知函數(shù)而初始位移為零兩種情形出發(fā)，給出可視化的差分解。

3.1.1 初始位移激發(fā)的行波

波動(dòng)激發(fā)機(jī)制有很多種，如初始位移、初始速度及外力的作用等，而波的傳播范圍也分為無(wú)限長(zhǎng)、半無(wú)界及有限長(zhǎng)不同的情形，首先給出初始位移在有限長(zhǎng)弦上激發(fā)的波動(dòng)問(wèn)題。其定解問(wèn)題可描述為：

(1)

若滿(mǎn)足初始速度ψ(x)為零，而初始位移φ(x)為：

(2)

則利用分離變量法[1-2]求得的精確解為：

(3)

下面求解該定解問(wèn)題的數(shù)值解，借助于中心差分法[10-11]，令a=1、l=1，給出上述定解問(wèn)題的差分格式：

ui,j+1=m(ui+1,j+ui-1,j)+2(1-m)ui,j-ui,j-1

(4)

其中m=(Δt/Δx)2，初始條件經(jīng)化解可表示為：

(5)

基于上述給出的差分格式，將微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，借助于計(jì)算機(jī)仿真[12]給出數(shù)值結(jié)果。為了提高解的準(zhǔn)確度，采用Matlab和Fortran兩種語(yǔ)言給出結(jié)果驗(yàn)證，由于結(jié)果一致，只將差分結(jié)果和精確解對(duì)比如圖1所示。

圖1 初始位移激發(fā)一維波動(dòng)的位移分布

由圖1可以清楚地看到計(jì)算結(jié)果的物理意義，在t=0時(shí)刻初始位移被平均分為兩部分，隨著時(shí)間的推移分別向左右兩側(cè)傳播，當(dāng)碰到邊界，由于邊界固定產(chǎn)生半波損失進(jìn)行反射繼續(xù)傳播并相互疊加，從而得出解的可視化結(jié)果。圖中虛線(xiàn)為理論精確解，而實(shí)線(xiàn)是差分法仿真結(jié)果，由兩種曲線(xiàn)的符合程度可以看出差分法在求解數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的可行性。

3.1.2 初始速度激發(fā)的行波

為了給出可視化教學(xué)[13-14]可行的適用性，接下來(lái)給出的是由初始速度在有限長(zhǎng)弦上激發(fā)的行波，這里給出初始位移為0，初始速度為已知函數(shù)的情形。令初始速度ψ(x)滿(mǎn)足：

(6)

分離變量求解的精確解如下：

(7)

而差分格式與運(yùn)算和第一種情況類(lèi)似，只需要將初始條件改為：

ui,2=ψ(x)Δt

(8)

最終結(jié)果如圖2所示。

圖2 初始速度激發(fā)一維波動(dòng)的位移分布

為了能夠展示端點(diǎn)的半波損失，圖2的時(shí)間間隔取為2 s，仿真結(jié)果簡(jiǎn)單明了地展示了解的物理意義，隨著時(shí)間的推移，初始速度激發(fā)的行波逐步擴(kuò)充到左右兩側(cè)，當(dāng)?shù)竭_(dá)邊界處由半波損失使得前面產(chǎn)生的波與后面激發(fā)的波疊加而給出該時(shí)刻對(duì)應(yīng)的波形圖，從而可視化的結(jié)果讓學(xué)生直觀(guān)明了地看到實(shí)際物理過(guò)程。圖2上圖虛線(xiàn)為分離變量求得精確解，而下圖實(shí)線(xiàn)為差分計(jì)算仿真結(jié)果，兩曲線(xiàn)符合一致，說(shuō)明用差分法在解題中的可行性。

3.2 一維齊次方程的熱傳導(dǎo)過(guò)程

有了波動(dòng)過(guò)程的可視化分析結(jié)果，下面直接采用中心差分法來(lái)探究另一個(gè)主要的偏微分方程定解問(wèn)題，即熱傳導(dǎo)過(guò)程。下面從兩個(gè)具體問(wèn)題出發(fā)，有無(wú)熱源，即齊次方程和非齊次方程構(gòu)成的定解問(wèn)題。先從簡(jiǎn)單情形求解。

無(wú)熱源的定解問(wèn)題案例如下：

(9)

經(jīng)由分離變量也可得到精確解：

(10)

接著進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，取a=1、l=2，而該定解問(wèn)題的差分格式[15]為，

ui,j+1=m(ui+1,j+ui-1,j)+(1-2m)ui,j

(11)

其中m=Δt/(Δx)2。對(duì)于初始條件，直接設(shè)定為：ui,1=sin(πx)。

圖3 無(wú)熱源一維熱傳導(dǎo)溫度分布

經(jīng)計(jì)算仿真，圖3給出了一維熱傳導(dǎo)過(guò)程中溫度隨時(shí)間和位置點(diǎn)的變化圖像。從中能夠清楚看到隨著時(shí)間的增加，溫度高的地方逐漸降低，而溫度低的地方溫度在升高，符合人們?nèi)粘?duì)熱傳導(dǎo)的認(rèn)知。

3.3 一維非齊次的熱傳導(dǎo)過(guò)程

最后給出有熱源的一維熱傳導(dǎo)過(guò)程的求解。類(lèi)比于前面過(guò)程，給出的定解問(wèn)題為：

(12)

給出問(wèn)題中參數(shù)，去a=1、l=2，利用差分法由定解問(wèn)題給出差分格式為，

ui,j+1=m(ui+1,j+ui-1,j)+(1-2m)ui,j+Δt·fi,j

(13)

式中m=Δt/(Δx)2，并給出熱源的分布矩陣fi,j=3et，初始條件仍為：ui,1=sin(πx)。

圖4給出溫度隨時(shí)間和坐標(biāo)點(diǎn)的變化二維圖像，由于有了熱源的存在，使得一維桿上的溫度隨時(shí)間推移越來(lái)越高。總之，由上述具體物理問(wèn)題出發(fā)，給出差分法和精確求解的可視化結(jié)果，不僅說(shuō)明差分法在求解定解問(wèn)題的可行性，而且清楚直觀(guān)地展示了解的物理意義。從中讓學(xué)生構(gòu)建起了數(shù)學(xué)物理方法的知識(shí)構(gòu)架，也提升了學(xué)生的計(jì)算機(jī)實(shí)際操作能力，從而增加學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。

圖4 有熱源一維熱傳導(dǎo)溫度分布

4 結(jié)語(yǔ)

文章采用差分法求解數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題并給出可視化求解結(jié)果。為了說(shuō)明差分法的可行性，一方面在一維波動(dòng)方程的可視化結(jié)果展示了理論精確解與差分法的對(duì)比結(jié)果，另一方面差分法結(jié)果借助于Matlab和Fortran兩套程序相互驗(yàn)證。通過(guò)波動(dòng)和熱傳導(dǎo)過(guò)程的四個(gè)具體問(wèn)題的可視化結(jié)果，不僅讓學(xué)生直觀(guān)地感受到了傳播過(guò)程，了解了其中的物理意義，而且通過(guò)學(xué)生參與仿真環(huán)節(jié)，在建模中學(xué)習(xí)新的計(jì)算方法、接觸編程和繪圖軟件，從而拓展了學(xué)生的知識(shí)面，培養(yǎng)了學(xué)生的計(jì)算機(jī)操作能力，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。