懸索橋吊索尾流致振非定常理論分析

李壽英 向琳琳 鄧羊晨

摘? ?要：為研究懸索橋吊索的尾流致振機理及準定常理論在尾流致振中的適用性，進行了一系列風洞試驗，測量得到尾流索股的氣動導數的空間分布情況，建立了尾流致振非定常理論分析模型，采用龍格-庫塔法求解方程，得到尾流致振響應. 結果表明：在5.2≤X≤5.6，1.1≤Y≤2.1的空間區域尾流索股發生明顯振動，振動頻率小于結構固有頻率;在一個尾流致振周期內，氣動剛度力對尾流索股做正功，說明尾流致振由氣動剛度控制;基于準定常理論的計算結果與非定常理論計算結果偏差較小，兩種理論得到的尾流致振機理一致.

關鍵詞：懸索橋;吊索;尾流致振;龍格-庫塔法;非定常理論;準定常理論

中圖分類號：U448.25? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標志碼：A

Theoretical Analysis on Wake-induced Vibration of

Suspension Bridges Hangers Based on Unsteady Theory

LI Shouying，XIANG Linlin，DENG Yangchen?

（Key Laboratory of Wind and Bridge Engineering （Hunan University） of Hunan Province，Changsha 410082，China）

Abstract：In order to investigate the mechanism of wake-induced vibration of the? suspension bridge hangers， and to verify the applicability of quasi-steady assumption in the research of the wake-induced vibration， a series of wind tunnel tests for two parallel circular cylinders were carried out to measure the aerodynamic derivatives of the downstream cylinder. Second， a theoretical analysis model of wake-induced vibration of the downstream cable was developed on the basis of the unsteady theory， and the Runge-Kutta method was adopted to numerically solve the motion equations to obtain the responses of wake-induced vibration. The results show that obvious oscillations of the leeward cable take place in the spatial region of 5.2≤X≤5.6 and 1.1≤Y≤2.1， and the vibration frequency of cable is slightly? less than its natural frequency. A positive work within a period is always done by the aerodynamic stiffness force if large amplitude vibration of wake-induced vibration takes place， which indicates that the aerodynamic stiffness force is the key factor to evoke the wake-induced vibration of the leeward cable. Moreover， the results based on the quasi-steady theory show small variation when compared with those based on the unsteady theory， and the wake-induced vibration mechanism obtained by the two theories is consistent.

Key words：suspension bridges;hangers;wake-induced vibration;Runge-Kutta method;unsteady theory;

quasi-steady theory

大跨度懸索橋吊索一般由多個（2，4或6）索股組成，吊索具有自重輕、柔度大、阻尼低的特點，極易發生各類風致振動. 國內外已有多座懸索橋觀測到了吊索的大幅風致振動現象，例如，日本明石海峽大橋[1]、丹麥大海帶東橋[2]及中國舟山西堠門大橋[3]. 然而，上述3座大橋吊索采用的減振措施不盡相同，這表明不同橋梁的吊索振動機理可能不同. 為此，部分學者開展了相關研究，Li等[4]和Chen等[5]通過試驗研究了懸索橋橋塔周邊吊索振動特性，指出橋塔尾流是引起吊索振動的原因;張志田等[6]對西堠門橋纜索系統進行了數值分析，指出主纜振動引起的內共振是吊索振動的原因所在;李壽英等[7]在風洞試驗中重現了多索股吊索由于氣動干擾所引發的尾流致振現象. 本文作者曾在西堠門橋觀測到在風速為8 ～ 10 m/s情況下，同一吊點4根吊索中，位于背風側的3根吊索發生劇烈振動，而剩下的1根位于迎風側的吊索基本靜止不動[8]. 這表明吊索多索股之間的尾流氣動干擾可能是吊索振動的關鍵所在.

目前，氣動干擾研究主要集中在輸電線和海洋立管等方面. 輸電線方面：Price[9]、Ko[10]以及Wardlaw等[11]通過風洞試驗測量了輸電線尾流導線的氣動力系數. Simpson[12]、Tusi等[13]以及Price等[14]通過建立理論分析模型，對輸電線的尾流致振進行了理論研究. Hardy等[15]建造了一條五跨、全長1.5 km的測試輸電線路，據此研究輸電線的尾流致振響應. 在海洋立柱方面：Huse[16]、Brika等[17]以及Sagatun等[18]在水中進行了一系列氣彈模型試驗. Bleivins[19]、 Bokanian等[20]通過理論分析對海洋立管流致失穩進行了分析. 然而，無論是在自身結構特性還是結構布置上，懸索橋吊索與輸電線以及海洋立管均有很大的不同[21]， 目前專門針對懸索橋多索股間氣動干擾的研究非常有限，并且，絕大多數已有氣動干擾研究是建立在準定常理論假設基礎上的，即認為作用在物體上的氣動力不受自身運動狀態影響，在研究中忽略因自身運動引起的氣動自激力. 然而，李壽英等[22]對準定常理論在風雨振中的適用性研究表明，相比較于在準定常理論假設基礎上得到的拉索和水線氣動力，基于非定常理論得到的氣動力更為精確，并且建議在精細化的風雨振研究中應采用非定常理論方法. 對于懸索橋吊索間復雜的氣動干擾問題，同樣有必要建立非定常理論分析模型，以此對準定常理論的適用性進行研究.

本文進行了一系列風洞試驗，測量得到尾流索股的氣動導數的空間分布情況，建立了尾流致振非定常理論分析模型，采用Runge-Kutta數值法求解方程，得到尾流致振響應，對尾流致振機理進行了研究，其間，對比分析了基于非定常理論模型和準定常理論模型的相應計算結果.

1? ?風洞試驗

1.1? ?試驗概況

尾流索股的氣動導數采用強迫振動方法識別，試驗在湖南大學HD-2風洞實驗室的高速試驗段進行，該試驗段長17 m、寬3 m、高2.5 m，試驗風速在0～58 m/s范圍內連續可調. 采用湖南大學自主研制的強迫振動裝置識別尾流索股氣動導數，該裝置內置兩臺B51型五分量桿式測力天平，可實現水平、豎直和扭轉3個方向的耦合運動. 通過強迫振動裝置驅動尾流索股模型做特定頻率的簡諧運動，通過五分量天平測得作用在尾流索股上的氣動力時程，位移時程采用激光位移計來測量. 試驗數據采用DH5920動態信號測試分析系統采集，風速測量采用澳大利亞TFI公司的眼鏡蛇風速儀.

采用兩根光圓柱來模擬懸索橋雙索股吊索，索股模型由不銹鋼軸和輕質泡沫制作，模型直徑0.088 m、長1.33 m，尾流吊索模型端板直徑0.25 m，試驗模型如圖1（a）所示. 迎風索股模型安裝在數控移測架上，通過移動移測架來調節兩索股模型的相對間距，尾流索股模型通過不銹鋼軸固定在強迫振動裝置的天平上. 為保證流場的均勻性，對風洞內的強迫振動裝置安設了整流罩，試驗模型在風洞中的整體安裝情況如圖1（b）所示.

雙索股的空間位置定義如圖2所示，建立坐標系xoy，其中坐標原點o在迎風索股中心，x軸與來流方向平行，y軸與來流方向垂直，定義無量綱坐標X和Y：

式中：D為索股直徑.

考慮到懸索橋吊索實際間距及試驗安全性，選定無量綱坐標X和Y的測試范圍分別為[4，8]和[0，4]，測量間距步長為ΔX = ΔY = 0.25，共包含289個相對位置. 從西堠門大橋吊索的觀察情況來看，在來流風速約為10 m/s時吊索易發生大幅尾流干擾振動. 因此，試驗風速統一選定為10 m/s，對應雷諾數為6.14 × 104. 詳細試驗參數見表1.

1.2? ?氣動導數識別結果

參考橋梁主梁非定常氣動自激力表達式，考慮尾流索股順、橫風向2個自由度. 索股的非定常氣動自激力（升力與阻力）可采用8個氣動導數確定：

式中：ρ為空氣密度;U為來流風速;Ki = ωi D /U（i = u，v）為與各向運動自由度相關的折算頻率;u、v、[u] 、[v] 分別為尾流索股模型的水平向和豎向位移以及水平向和豎向速度;H*

尾流索股氣動導數（P1*、P4*、P5*、P6*、H1*、H4*、H5*和H6*）空間分布情況如圖3所示. 從圖3中可看出，尾流索股的8個氣動導數的分布沒有明顯的規律性. 但從圖3（b）中可觀察到，與順風位移相關的H4*，其正數值高達80. 這表明與順風位移有關的負氣動剛度可能會引起吊索的振動. 圖3所示的試驗數據將用來在第2節中確定吊索的非定常自激氣動力.

2? ?尾流索股運動方程

假定迎風索股固定不動，將尾流索股簡化為兩自由度振子，分別為順風向和橫風向，如圖4所示. 建立坐標軸xoy，原點位于迎風索股中心，x和y軸方向分別為順風向和橫風向，尾流索股在x和y軸方向的位移分別為u（t）和v（t），尾流索股上的作用力包括彈性力（kx u和ky v）、阻尼力（cx [u] 和cy [v] ）、慣性力（mx [u]和my [v]）及氣動力（Fx和Fy）.

在圖4所示的力學模型的基礎上，尾流索股的的運動微分方程可表示為：

基于非定常理論，體軸坐標系下尾流索股的氣動力Fx和Fy為：

式中：Ur為尾流對尾流索股的局部相對風速;CD為以局部風速U進行無量綱化的平均阻力系數;CL為以局部風速U進行無量綱化的平均升力系數.

局部相對風速Ur與局部風速以及尾流索股的運動速度有關：

公式（6）（7）中正弦和余弦函數以及以局部風速無量綱化的平均氣動力系數（CD和CL）可進行如下轉換：

式中：CD∞為下游索股處在上游索股尾流范圍外的阻尼系數，取CD∞ = 1.2.

式中：CD和CL分別為平均阻力和平均升力系數，采用文獻[19]中風洞試驗數據.

采用Runge-Kutta法數值求解方程（4）（5），得到尾流索股響應.

為了對比，給出了基于準定常理論推導得到的尾流索股的氣動力表達式，如公式（17）（18）所示[19].

3? ?數值算例

3.1? ?尾流索股振動特性

吊索結構參數選用西堠門懸索橋吊索實際參數，具體參數見表2. 尾流索股的線密度mx = my = 31 kg/m，索股直徑D = 0.088 m，順風向和橫風向結構頻率fx = fy = 0.40 Hz，結構阻尼比ξx = ξy = 0.1%，來流風速U = 10 m/s，空氣密度ρ = 1.225 kg/m3.

考慮到第1節中已識別的尾流索股氣動導數的空間范圍，在5≤X≤7、0≤Y≤4，間距ΔX=ΔY=0.1空間范圍內進行了數值模擬，共計861個計算工況. 同時，為評估非定常氣動自激力的影響，分別采用非定常和準定常模型對尾流索股的振動響應進行了數值計算.

圖5給出了基于非定常和準定常兩種理論模型數值計算得到的尾流索股單邊最大振幅和振動頻率空間分布情況. 從圖5中可看出在5.2≤X≤ 5.6、1.2≤Y≤2區域兩種理論模型計算得到的尾流索股均發生了明顯振動，其中，非定常理論模型計算得到的最大振幅約為1.35D，略大于準定常理論模型得到的最大振幅1.03D. 在振動明顯的區域內，兩種理論模型計算得到的索股的振動頻率均略小于固有頻率，表明可能有氣動負剛度存在. 圖6分別給出了基于非定常和準定常兩種理論模型計算得到的X=5.4、Y=1.6工況處尾流索股位移時程和運動軌跡. 從圖6中可看出基于非定常理論模型計算得到的振幅要略大于準定常理論模型計算結果，尾流索股運動軌跡為橢圓形、順時針方向.

3.2? ?尾流索股振動機理

尾流索股發生尾流致振時的運動軌跡示意圖如圖7所示. 其中，點O1為尾流索股的初始位置，橢圓軌跡的中心點O2為尾流索股的動平衡位置，點O3為尾流索股在運動軌跡上任意時刻的位置.

由于空氣密度與吊索密度相比很小，作用在索股上的氣動質量力可忽略不計，因此作用在尾流索股上的氣動力包含三部分：與位移和速度均無關的定常氣動力Fam、與位移相關的氣動剛度力Fas和與速度相關的氣動阻尼力Fad. 其中，定常氣動力Fam為尾流索股在某位置處靜止時所受到的氣動力，氣動剛度力Fas和氣動阻尼力Fad分別可由公式（19）（20）計算得到[21].

式中：Fam（O1） 和Fam（O3）分別為尾流索股在點O1和O3 位置處靜止時所受到的定常氣動力;Fa（O3）為尾流索股在點O3運動過程中所受到的總氣動力，可由公式（15）～（18）計算得到.

圖8和圖9分別給出了基于非定常和準定常兩種理論模型計算得到的典型工況的尾流索股氣動剛度力和氣動阻尼力時程. 從圖8和圖9中可以看出，基于準定常理論計算得到的氣動剛度力和氣動阻尼力比非定常理論計算結果偏小，特別是氣動阻尼力. 整體上，基于兩種理論模型計算得到的平均氣動剛度力均比平均氣動阻尼力大.

在將氣動力各組成部分準確分離的基礎上，通過對氣動力各分量做功進行分析，研究尾流索股的尾流致振機理. 圖10給出了基于非定常和準定常兩種理論模型計算得到的典型工況尾流索股一個穩定運動周期內的氣動剛度力、氣動阻尼力以及結構阻尼力做功的功率時程. 對于結構阻尼力，基于兩種理論模型計算得到的功率始終為負，表明結構阻尼力在一個周期內對尾流索股做負功. 對于氣動剛度力，兩種理論模型計算得到的結果均表明在一個振動周期內氣動剛度力對尾流索股做正功. 對于氣動阻尼力，基于準定常理論模型計算得到的功率始終為負，基于非定常理論模型計算得到的功率不僅出現正值而且出現負值，但是，從整體來看，做負功的總量仍然大于做正功的總量，表明氣動阻尼力在一個周期內對尾流索股做負功. 綜合上述分析，基于非定常和準定常兩種理論模型計算得到的尾流致振機理是一致的，即尾流致振由氣動負剛度驅動.

4? ?結? ?論

進行了一系列風洞試驗，測量得到尾流索股的氣動導數的空間分布，在此基礎上建立了尾流致振非定常理論分析模型，采用Runge-Kutta數值法求解方程，得到尾流致振響應，對尾流致振機理進行了分析研究，并與準定常理論對應計算結果進行了對比分析，得到如下主要結論：

1）在5.2≤X≤5.6、1.1≤Y≤2.1區域，尾流索股發生了較大振幅振動，且在發生振動的區域內，振動頻率小于固有頻率.

2）在一個穩定振動周期內，氣動剛度力做正功，表明氣動剛度力是尾流索股尾流致振的關鍵因素，即尾流致振由氣動剛度力驅動.

3）準定常模型計算結果與非定常模型計算結果吻合較好，表明準定常模型能較好地反映尾流致振主要特征.

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