明辨概率與頻率

領 銜 人：崔恒劉

組稿團隊：江蘇省初中數學學科課程示范基地（東臺市實驗中學教育集團）

文 季承潔

概率與頻率是兩個不同的概念，它們既有區別又有聯系。事件發生的概率是一個確定的數值，而頻率是不確定的數值。我們可以通過試驗，用頻率估計概率的大小。在試驗次數較少時，頻率的大小不夠穩定，不能反映概率，但當試驗次數漸漸增多時，頻率會逐漸穩定在概率附近，而且非常接近概率，但不一定相等。我們可以利用頻率的穩定性估計相應的概率，也可以利用概率來預測不確定事件進行多次試驗后的頻率，由此解決實際問題。

一、概念辨析

例1 做“拋擲一枚質地均勻的硬幣”試驗，在大量重復試驗中，對于事件“正面朝上”的頻率和概率，下列說法正確的是（ ）。

A.概率等于頻率

C.概率是隨機的

D.頻率會在某一個常數附近擺動

【解析】頻率只能估計概率，不一定等于概率，故A選項錯誤；頻率是試驗的統計結果，是隨機的，它隨試驗而變化，是一個不確定的值，故B選項錯誤；事件發生的概率是唯一確定的一個值，拋擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率等于故 C 選項錯誤；當試驗次數很大時，頻率穩定在概率附近，故D選項正確。

【點評】本題考查概率與頻率的概念辨析，我們需要正確理解概率與頻率的概念和關系：反復試驗時，某事件發生的頻率會穩定在某個常數的附近，這個常數就叫作事件概率的估計值，而不是一種必然的結果。

二、通過模擬試驗來估計概率

例2 （2020·新疆）下表中記錄了某種蘋果樹苗在一定條件下移植成活的情況：

0.935 0.892______________________________0.913 0.895 0.903移植的棵數n 200__________500__________800_________2000________12000_______成活的棵數m 187 446 730__________________1790 10836成活的頻率m_____________________________________n

由此估計這種蘋果樹苗移植成活的概率約為_______。（精確到0.1）

【解析】由表格可知，試驗次數為12000（足夠多）時，它的頻率為0.903≈0.9，所以估計這種蘋果樹苗移植成活的概率約為0.9。

【點評】本題考查利用頻率估計概率：在一定條件下，試驗次數足夠多時，隨機事件發生的頻率會在某個常數附近擺動，這個常數就是頻率的穩定值。頻率的穩定值就作為這個隨機事件發生的概率的估計值。

三、擲瓶蓋試驗判斷結論

例3 下圖顯示了小亞用計算機模擬隨機投擲一枚某品牌啤酒瓶蓋的試驗結果。

那么可以推斷出如果小亞實際投擲一枚這個品牌的啤酒瓶蓋時，“凸面向上”的可能性_______“凹面向上”的可能性。（填“大于”“等于”或“小于”）

【解析】根據圖中數據可得，“凸面向上”的頻率在 0.443 與 0.440 之間，所以“凸面向上”的可能性小于“凹面向上”的可能性。

【點評】本題考查了利用頻率估計概率。解答本題的關鍵是明確概率的定義，利用數形結合的思想，根據圖中的數據解答。

四、通過模擬試驗來估計能發芽的作物種子數量

例4 某農科所在相同條件下做玉米種子發芽試驗，結果如下：

某位顧客購進這種玉米種子10千克，那么大約有_______千克種子能發芽。

【解析】根據農科所在相同條件下做玉米種子發芽率的試驗結果，可以發現經過大量重復試驗后，玉米種子發芽的頻率穩定在0.88左右，由此求出10千克種子中能發芽的種子的質量是：10×0.88=8.8（千克）。

【點評】此題主要考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下，頻率穩定值即概率。解答此題的關鍵是判斷出大量重復試驗后，玉米種子發芽的頻率穩定在0.88左右。