點(diǎn)擊2020中考概率新題

文 李 婷

概率是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要知識塊，也是中考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容。隨著中考概率題考查的不斷深入，概率問題的創(chuàng)新性、綜合性也更強(qiáng)，出現(xiàn)了一些背景更豐富、考點(diǎn)更全面、題型更新穎、更貼近生活的概率題型。概率問題從之前的考概念、考定義、考計(jì)算，向兼顧考閱讀理解、考實(shí)際應(yīng)用、考綜合知識的方向發(fā)展。這些都對大家的綜合能力提出了更高的要求。下面我們就走入2020中考，感受概率新題型。

例1 （2020·江蘇鹽城）生活在數(shù)字時代的我們，會在很多場合用二維碼（如圖1）來表示不同的信息。類似地，可通過在矩形網(wǎng)格中，對每一個小方格涂黑色或不涂色所得的圖形來表示不同的信息，例如：網(wǎng)格中只有一個小方格，如圖2，通過涂黑色或不涂色可表示兩個不同的信息。

（1）用樹狀圖或列表格的方法，求圖3可表示的不同信息的總個數(shù)：（圖中標(biāo)號1、2表示兩個不同位置的小方格，下同）

（2）圖4 為2×2 的網(wǎng)格圖，它可表示的不同信息的總個數(shù)為______；

（3）某校需要給每位師生制作一張“校園出入證”，準(zhǔn)備在證件的右下角采用n×n的網(wǎng)格圖來表示各人身份信息，若該校師生共492人，則n的最小值為______。

【分析】（1）（2）兩問，我們根據(jù)題意畫出樹狀圖求解，屬于常規(guī)題，但也是第（3）問的伏筆；（3）由題意根據(jù)（1）（2）得到規(guī)律，即可求出n的值。

解：

（1）畫樹狀圖如下：

共有4 種等可能結(jié)果，所以圖3 可表示的不同信息的總個數(shù)為4。

（2）畫樹狀圖如下：

共有16 種等可能結(jié)果，因此2×2 的網(wǎng)格圖可表示的不同信息的總個數(shù)為16。

（3）由圖1，得當(dāng)n=1時，21=2，

由圖4，得當(dāng)n=2時，22×22=16，

所以當(dāng)n=3時，23×23×23=512，

因?yàn)?16＜492＜512，所以n的最小值為3。

【點(diǎn)評】此題以當(dāng)下流行的二維碼為問題背景，設(shè)計(jì)了一道求概率與找規(guī)律相結(jié)合的題目，在考查列表法、樹狀圖法求概率的同時考查了同學(xué)們的推理能力。列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)、不遺漏地列出所有等可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件。

例2 （2020·湖北荊門）如圖是某商場第二季度某品牌運(yùn)動服裝的S 號、M 號、L 號、XL 號、XXL 號銷售情況的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖。

根據(jù)圖中信息解答下列問題：

（1）求 XL 號、XXL 號運(yùn)動服裝銷量的百分比；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）按照M 號、XL 號運(yùn)動服裝的銷量比，從M 號、XL 號運(yùn)動服裝中分別取出x件、y 件。若再取 2 件 XL 號運(yùn)動服裝，將它們放在一起，現(xiàn)從這（x+y+2）件運(yùn)動服裝中，隨機(jī)取出1件，取得M 號運(yùn)動服裝的概率為求x、y的值。

【分析】（1）由M 號的銷售量及其所占百分比求出運(yùn)動服裝總銷量，再求出XXL號運(yùn)動服裝銷量的百分比，根據(jù)各組所占百分比的和為單位1 求出XL 號運(yùn)動服裝銷量的百分比；

（2）用運(yùn)動服裝總銷量分別乘S 號、L號、XL 號所占的百分比，得到對應(yīng)服裝銷量，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）由銷量比，得x=2y，再結(jié)合概率的意義列出方程組，解方程組求解。

解：（1）抽取的總數(shù)為60÷30%=200（件），

故XL號、XXL號運(yùn)動服裝銷量的百分比分別為15%、10%；

（2）根據(jù)題意，得

S號服裝銷量為200×25%=50（件），

L號服裝銷量為200×20%=40（件），

XL號服裝銷量為200×15%=30（件），

條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充如下：

【點(diǎn)評】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力。我們在利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷。結(jié)合題意，利用概率公式列方程組解決問題，體現(xiàn)了綜合運(yùn)用知識的能力。

例3 （2020·四川攀枝花）劉雨澤和黎昕兩位同學(xué)玩抽數(shù)字游戲。五張卡片上分別寫有2、4、6、8、x 這五個數(shù)字，其中兩張卡片上的數(shù)字是相同的。從中隨機(jī)抽出一張，已知P（抽到數(shù)字4的卡片）=

（1）求這五張卡片上的數(shù)字的眾數(shù)。

（2）若劉雨澤已抽走一張數(shù)字2 的卡片，黎昕準(zhǔn)備從剩余4張卡片中抽出一張。

①所剩的4張卡片上數(shù)字的中位數(shù)與原來5 張卡片上數(shù)字的中位數(shù)是否相同？請簡要說明理由。

②黎昕先隨機(jī)抽出一張卡片后放回，之后又隨機(jī)抽出一張，用列表法（或樹狀圖）求黎昕兩次都抽到數(shù)字4的概率。

【分析】（1）根據(jù)抽到數(shù)字4 的卡片的概率為可得x值，從而可得眾數(shù)。

（2）①分別求出前后兩次的中位數(shù)即可；②畫出樹狀圖，再根據(jù)概率公式求解即可。

解：（1）因?yàn)?2、4、6、8、x 這五個數(shù)字中，P（抽到數(shù)字4的卡片）=

則數(shù)字 4 的卡片有 2 張，即 x=4，所以五個數(shù)字分別為2、4、4、6、8，則眾數(shù)為4。

（2）①不同。理由是：原來五個數(shù)字的中位數(shù)為4，抽走數(shù)字2 后，剩余數(shù)字為4、4、6、8，則中位數(shù)為所以前后兩次的中位數(shù)不一樣。

②根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

可得共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次都抽到數(shù)字4的情況有4種，

【點(diǎn)評】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)的概念及求法，以及用列表法或樹狀圖法求概率。解題的關(guān)鍵也是理解題意，注意細(xì)節(jié)，分清放回與不放回的區(qū)別，綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題。