課本中摸球概率題的演變史

文 柳宏明

教材是中考命題的天然素材，每年都有大量的中考題目直接出自教材，或擷此作基，演變生發。我們以蘇科版數學教材九年級上冊第136頁例4為源，探其演、究其變。

【原題再現】一只不透明的袋子中裝有1個白球和2 個紅球，這些球除顏色外都相同。攪勻后從中任意摸出1 個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1 個球。求兩次都摸到紅球的概率。

中考演變1：摸一次

例1 （2020·黑龍江哈爾濱）一個不透明的袋子中裝有9 個小球，其中6 個紅球、3個綠球，這些小球除顏色外無其他差別。從袋子中隨機摸出一個小球，則摸出的小球是紅球的概率是（ ）。

【分析】將原題中的摸2次弱化為摸1次，直接考查一步事件概率。根據隨機事件概率大小的求法，找準兩點：①符合條件的情況數目，②全部情況的總數。二者的比值就是其發生的概率的大小。

解：∵袋子中一共有9 個除顏色不同外其它均相同的小球，其中紅球有6個，

【點評】本題主要考查概率公式，解題的關鍵是掌握隨機事件A 的概率P（A）=事件A可能出現的結果數÷所有等可能出現的結果數。

中考演變2：摸兩次，從兩個袋子中各摸一個球

例2 （2020·黑龍江鶴崗）現有兩個不透明的袋子，一個裝有2個紅球，1個白球，另一個裝有1 個黃球，2 個紅球，這些球除顏色外完全相同。從兩個袋子中各隨機摸出1 個球，摸出的兩個球顏色相同的概率是（ ）。

【分析】將原題中的“摸一次、放回、再摸一次”演變為“分別從兩個袋子中各摸一個球”，兩者摸法上有區別，但模型是一樣的。用列表法列舉出所有等可能出現的結果，從中找出“兩球顏色相同”的結果數，進而求出概率。

解：用列表法表示所有等可能出現的結果情況如下：

第1袋第2袋紅紅白________________________紅________________________紅_____________________黃紅紅__紅紅__紅黃__紅紅__紅紅__紅黃__白紅_白紅_白黃_

共有9 種等可能出現的結果，其中“兩球顏色相同”的有4種，

【點評】將教材的原題換一種敘述方式考查，形異實同，考查同學們對基礎知識的掌握情況。這也是最基本的命題方式。

中考演變3：摸兩次，不放回

例3 （2020·黑龍江牡丹江）在一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1、2、3、4。若隨機摸出一個小球后不放回，再隨機摸出一個小球，則兩次取出小球標號的和等于5的概率為（ ）。

【分析】將原題中的“摸一次、放回、再摸一次”演變為“摸一次、不放回、再摸一次”。不放回，摸出的球將不會被摸到，這是列出所有等可能出現的結果時需要注意的地方。

解：用列表法表示所有等可能出現的結果情況如下：

第1次第2次4_______________________________________5______________________________________6_______________________________________7 1________________2_______3___________________4 1_______ 3_______________4_______5_______2_______ 3________5____________________6_______3 4____________5____________7____________

共有12 種等可能出現的結果，其中“和等于 5”的有4 種，故選C。

【點評】對于袋中球摸兩次，同學們需要看清題目條件的敘述是“有放回”還是“無放回”。對于從不透明的袋中一次摸出兩個球，則相當于“摸一次、不放回、再摸一次”，換個背景如“擲骰子、拋硬幣、搖轉盤”兩次，第一次出現的，第二次還有可能出現，相當于“摸一次、放回、再摸一次”。

中考演變4：摸三次

例4 （2020·內蒙古通遼）甲口袋中裝有2 個相同小球，它們分別寫有數字1、2；乙口袋中裝有3 個相同小球，它們分別寫有數字3、4、5；丙口袋中裝有 2 個相同小球，它們分別寫有數字6、7。從三個口袋各隨機取出1個小球。用畫樹狀圖或列表法求：

（1）取出的3 個小球上恰好有一個偶數的概率；

（2）取出的3個小球上全是奇數的概率。

【分析】將原題中的摸2 次演變為從3 個袋子中摸（相當于摸3 次），同樣畫樹狀圖，有序展示所有12 種等可能的結果，找出符合題目要求的事件數，然后根據概率公式計算。

解：

畫出樹狀圖：

共有12種等可能的結果。

（1）取出的3 個小球上恰好有一個偶數的情況有（1，3，6），（1，4，7），（1，5，6），（2，3，7），（2，5，7）共 5 種情況，所以 P（取出的 3 個小球上恰好有一個偶數）

（2）取出的3 個小球上全是奇數的情況有（1，3，7），（1，5，7）共2種情況，所以P（取出的3個小球上全是奇數）