追溯概率起源 研究中考新題

文 崔恒劉

概率論是很有文化底蘊（實際背景很容易理解）的一門學科。早期的埃及人為了忘記饑餓，經常聚集在一起玩一種叫作“獵犬與胡狼”的游戲，實際上就是今天的擲骰子游戲。相對面的數字之和是7 的骰子大約產生于公元前1400 年的埃及，骰子就是游戲中常用的隨機發生器，這類游戲也叫作機會性游戲。17世紀中葉，人們開始對機會性游戲的數學規律進行探討。它的發展與數學史上一些偉大的名字相聯系，如帕斯卡、費馬、惠更斯、詹姆斯、伯努利、棣莫弗、拉普拉斯等。

1654 年，費馬與帕斯卡的通信中關于分賭注問題的討論被公認為是概率論誕生的標志。問題是這樣的：“兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏s局就算贏了。當賭徒A贏a局（a＜s），而賭徒B贏b局（b＜s）時，賭博被迫中止。應該怎樣分配賭注才合理？”三年后，惠更斯用自己的方法解決了這一問題，并寫成了《論賭博中的計算》一書，這就是概率論最早的論著，奠定了我們今天所學的古典概率基礎。

有意思的是，在近幾年的中考試題中，也出現了這類背景隱含著概率起源的考題。

如2018年連云港市第21題：湯姆斯杯世界男子羽毛球團體賽小組賽比賽規則：兩隊之間進行五局比賽，其中三局單打，兩局雙打，五局比賽必須全部打完，贏得三局及以上的隊獲勝。假如甲、乙兩隊每局獲勝的機會相同。

（1）若前四局雙方戰成2∶2，那么甲隊最終獲勝的概率是_______；

（2）現甲隊在前兩局比賽中已取得2∶0的領先，那么甲隊最終獲勝的概率是多少？

【分析與解】（1）兩隊之間進行五局比賽，前四局雙方戰成2∶2，說明已經比完四局，還剩下一局定勝負，而甲、乙兩隊旗鼓相當，每局獲勝的機會相同，根據概率的意義，甲隊最終獲勝的概率是

（2）第（2）問同學們容易有誤解，錯誤地認為甲隊最終獲勝的概率也是這也是概率起源時備受爭議的觀點之一。其實根據比賽規則“五局比賽必須全部打完”，已經比完兩局，還有三局，由于甲、乙兩隊每局獲勝的機會相同，也就是勝負的可能性一樣，因此列出樹狀圖，幫助找到所有等可能的結果：

如圖可知，剩下的三局比賽共有8 種等可能的結果，其中甲至少勝一局有7 種，所以P（甲隊最終獲勝）=

【點評】純粹從考題看，本題是考查列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，從中選出符合事件A或B 的結果數目m，然后利用概率公式計算事件A 或事件B 的概率。透過試題看本質，我們可以感覺到本題背景隱含著概率的起源。

為加深同學們對所求概率必須在“等可能”的條件下的理解，再看一例：兩枚質地相同的正四面體，它們的各面上分別標明數字1、2、3、4，如同時投擲這兩枚正四面體骰子，則著地面的點數之和等于5的概率為多少？

【錯解】因為著地面點數之和最小為2，最大為8，共有7 種不同的結果，所以著地面的點數之和為5的概率是

【錯解分析】著地面點數之和是2、3、4、5、6、7、8 的結果不是等可能的，我們列出表格：

___________________12______3______4____________1_________2_________3_________4和為2__和為3__和為4__和為5__和為3__和為4__和為5__和為6__和為4__和為5__和為6__和為7__和為5_和為6_和為7_和為8_

從表格中可看出：同時投擲兩個正四面體骰子，共有16種等可能情況，和為2的情況只有1種，和為3的情況有2種，和為4的情況有3種，和為5的情況有4種，和為6的情況有3 種，和為 7 的情況有 2 種，和為 8 的情況有 1種。因此著地面點數之和是2、3、4、5、6、7、8的結果不是等可能的。

【正解】列表如上，從表中可看出，共有16種情況，著地面的點數之和等于5的共有4種，則此種情況的概率是

【點評】利用概率公式求概率必須在有限性和等可能的前提下進行。“等可能”是一種假設，是一種理想狀態。“等可能”事件具備兩個特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性。我們要根據實際情況判斷是否可以認為所有可能結果是等可能，要學會變換思維角度、去偽存真，將不等可能事件轉化為等可能事件。如拋擲兩枚硬幣，將出現“一個正面、一個反面”的事件拆分成“正反、反正”兩個等可能事件；摸球試驗中，同顏色球不止一個時，為了體現事件的等可能性，一般需要將它們分別編號；投飛鏢和轉盤試驗中，原題分的“塊”面積不相等時，一般需要將它們再細分成等面積區域，然后求解。諸如此類，需謹慎小心，防止上當！