領(lǐng)悟統(tǒng)計(jì)思想 正確估算總體

領(lǐng) 銜 人：吳智勇

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán)吳智勇工作室

文 徐向榮

我們從總體中抽取樣本是為了認(rèn)識(shí)總體，通過抽樣調(diào)查了解總體的情況。用樣本估計(jì)總體是一種重要的數(shù)學(xué)思想。通過對(duì)數(shù)據(jù)的分析，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，我們可以做出合理的判斷和預(yù)測(cè)。

一、用樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分析總體

例1下表是隨機(jī)抽取的某公司部分員工的月收入資料。

__月收入____________／元______________________45000______________________18000______________________10000______________________5500______________________5000______________________3400_____________________3000______________________2000人數(shù)_____1______1______1_______3_______6______1______1 1______2______

（1）請(qǐng)計(jì)算以上樣本的平均數(shù)和中位數(shù)；

（2）甲、乙兩人分別用樣本平均數(shù)和中位數(shù)來估計(jì)推斷公司全體員工月收入水平，請(qǐng)你寫出甲、乙兩人的推斷結(jié)論；

（3）指出誰的推斷比較科學(xué)合理，能真實(shí)地反映公司全體員工月收入水平，并說出另一個(gè)人的推斷依據(jù)不能真實(shí)反映公司全體員工月收入水平的原因。

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)的定義即可求解；

（2）甲、乙兩人分別用樣本平均數(shù)和中位數(shù)來估計(jì)推斷公司全體員工月收入水平，根據(jù)（1）中的結(jié)論可直接寫出；

（3）乙的推斷比較科學(xué)合理，用平均數(shù)來推斷公司員工的月收入易受極端值影響。

解：（1）樣 本 平 均 數(shù)×（45000+18000+10000+5500×3+5000×6+3400+3000×11+2000×2）=6150（元），

（2）甲：由樣本平均數(shù)6150 元，估計(jì)全體員工月平均收入大約為6150 元。乙：由樣本中位數(shù)為3200元，估計(jì)全體員工中大約有一半的員工月收入超過3200元，有一半的員工月收入不足3200元。

（3）乙的推斷比較科學(xué)合理，用平均數(shù)來推斷公司員工的月收入易受極端值45000的影響，這里只有3個(gè)工人的月收入超過平均水平。

二、用樣本的頻數(shù)分布狀況分析總體

例2為了掌握八年級(jí)數(shù)學(xué)考試卷的命題質(zhì)量與難度系數(shù)，命題組教師赴外地選取一個(gè)水平相當(dāng)?shù)陌四昙?jí)班級(jí)進(jìn)行預(yù)測(cè)，將考試成績(jī)分布情況進(jìn)行處理分析，制成頻數(shù)分布表如下（成績(jī)得分均為整數(shù)）：

______________________________頻率_____________________________0.05_____________________________0.10______________________________0.2_____________________________0.25_________________________________c_____________________________0.15組別_________________頻數(shù)1_____2_____3_____4_____5_____6_____成績(jī)分組_____________47.5～59.5_____59.5～71.5_____71.5～83.5_____83.5～95.5_____95.5～107.5_____107.5～120_____2_________4_________a_________1 0_________b_________6_________

根據(jù)表中提供的信息解答下列問題：

（1）頻數(shù)分布表中的a=____，b=____，c=____；

（2）已知全區(qū)八年級(jí)共有200 個(gè)班（平均每班40 人），用這份試卷檢測(cè)，108 分及以上為優(yōu)秀，預(yù)計(jì)優(yōu)秀的人數(shù)約為____，72 分及以上為及格，預(yù)計(jì)及格的人數(shù)約為______，及格的百分比約為______；

（3）補(bǔ)充完整頻數(shù)分布直方圖。

【分析】（1）由第一組的頻數(shù)和頻率，結(jié)合頻率可求出總數(shù)，繼而可分別得出a、b、c的值；

（2）首先明確樣本中優(yōu)秀的頻率、及格的頻率和及格的百分比，然后利用樣本估計(jì)總體的思想，根據(jù)頻率的關(guān)系分別求出總體中優(yōu)秀的人數(shù)、及格的人數(shù)、及格的百分比；

（3）根據(jù)（1）中 a、b 的值即可補(bǔ)全圖形。

解：（1）∵被調(diào)查的總?cè)藬?shù)=2÷0.05=40（人），

∴a=40×0.2=8，b=40-（2+4+8+10+6）=10，c=10÷40=0.25。

（2）預(yù)計(jì)優(yōu)秀的人數(shù)約為 200×0.15×40=1200（人），

預(yù)計(jì)及格的人數(shù)約為200×（0.2+0.25+0.25+0.15）×40=6800（人），

及格的百分比約為（0.2+0.25+0.25+0.15）×100%=85%。

（3）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：

在統(tǒng)計(jì)里，我們通常從總體中抽取一個(gè)樣本，通過研究樣本的某些特性（如平均數(shù)、眾數(shù)等）來估計(jì)總體的相應(yīng)特性，這種用樣本估計(jì)總體的方法是行之有效的，有一定的科學(xué)性。但同時(shí)我們需要注意的是：為了獲取較為準(zhǔn)確的調(diào)查結(jié)果，抽樣時(shí)要注意樣本的代表性和廣泛性。