基于主動電磁控制的滑動軸承-轉子系統自激振動抑制數值仿真

李曉博，舒 進，牛瑞杰，姚兵印，蘭 昊，陳胤嗣，李 萌，于博文

（1.西安熱工研究院有限公司，陜西 西安 710054；2.西安交通大學機械工程學院，陜西 西安 710049；3.西安益通熱工技術服務有限責任公司，陜西 西安 710032）

隨著轉子系統向著高轉速、高精密性和高柔性發展，轉子系統的振動控制變得越來越重要?；瑒虞S承由于其結構簡單和承載能力強等優點被廣泛用于各種轉子系統。然而，高速運轉時滑動軸承支承的轉子系統會失穩[1-3]，失穩的主要原因是轉子系統的自激振動。當轉子系統轉速接近其2倍一階臨界轉速時，油膜半頻率渦動與固有頻率接近，半頻率渦動與轉子發生共振，如果轉速繼續增加這種振蕩會持續不斷，高速轉子一旦發生自激振動將會造成非常危險的事故[4-7]。

對于旋轉機械的振動抑制，不同于吸振器[8-9]和被動磁阻尼器[10]，如果采用主動電磁控制，因控制力是電流通過線圈產生電磁力施加在轉子上，控制裝置與轉子無接觸無摩擦，不會造成機械磨損。另外，由于其具有可控性和高可靠性，通過調節控制器參數可以為轉子系統提供不同的額外的剛度和阻尼[11-12]，非常適用于高速轉子系統的振動抑制。

為了探究主動電磁控制的抑振效果，本文建立了滑動軸承支承的轉子系統動力學模型，依據轉子模型的參數設計了主動電磁控制裝置和控制器，并且通過數值仿真分析了轉子系統在主動電磁控制下的振動特性。

1 軸承-轉子系統動力學模型

1.1 轉子模型

基于有限元法建立單圓盤轉子動力學模型[13]，圖1為單圓盤轉子模型，其仿真參數見表1。圖1中轉子劃分為11個節點，采用Timoshenko梁單元建立轉子系統有限元模型。忽略轉子內阻尼和剪切變形的影響，圓盤簡化為集中質量疊加在相應的節點上，圓盤上的偏心質量在轉子旋轉時產生不平衡力。忽略轉子軸向的運動，只考慮橫向彎曲振動，因此每個節點僅包含2個線位移和2個角位移，整個轉子系統包含44個自由度。轉子的運動方程可以表示為

式中：q為轉子的位移列向量；M為轉子系統的質量矩陣，G為轉子系統的轉動慣量矩陣；K為轉子系統的剛度矩陣；Fu為偏心質量產生的不平衡力列向量；Fb為軸承油膜力列向量。

圖1 單圓盤轉子模型Fig.1 The single-disk rotor model

表1 單圓盤轉子仿真參數Tab.1 Simulation parameters of the single-disk rotor

1.2 油膜力模型

非線性油膜力模型采用短軸承油膜力模型[14]。對圓柱滑動軸承進行仿真，其結構參數見表2。

表2 滑動軸承仿真參數Tab.2 Simulation parameters of the oil-film bearing

非線性油膜力的計算是基于短軸承理論，假設潤滑油黏度不變且不可壓縮，則軸承內的油膜壓力分布的Reynolds方程無量綱形式[14]可表示為

式中：p=P/P0為無量綱油膜壓力，相對單位為P0=6ωμR2/C2；P為油膜壓力，Pa；ω為軸的轉速，rad/s；μ為潤滑油黏度，Pa·s；R為軸承半徑，m；C為軸承間隙，m；z=2z/L為無量綱軸向坐標，其相對單位為L/2；L為軸承長度，m；θ=x/R為無量綱x方向坐標，其相對單位為R；H=h/C為油膜厚度的無量綱表示，其相對單位為C；h=C-xpcos(φ)-ysin()為油膜厚度，m；x和y為軸頸在軸承中的位置；為軸頸的偏位角，rad；t為時間，s。

通過式（2）可以得到施加在轉子上的油膜力，當已知軸承間隙C、潤滑油黏度和轉速后，軸承施加在轉子x和y方向的油膜力可以表示為：

式中：Fx和Fy為x和y方向的軸承力，N；和為對軸頸在x和y方向的位移求導，m/s。

2 主動電磁控制系統模型

主動電磁控制系統是一種機電一體化裝置，涉及機械動力學、控制理論以及測試技術等，它利用線圈產生的電磁力將轉子穩定懸浮在參考位置處，使轉子和主動控制裝置間沒有機械接觸，為了實現主動電磁控制系統對轉子的平穩控制，需要采用閉環控制策略并設計控制器[15-16]，根據轉子的懸浮狀態不斷地改變電磁力的大小和方向。

2.1 主動電磁控制系統設計

對轉子x和y方向分別進行獨立控制，以其中一個方向為例，單自由度主動電磁控制系統的結構如圖2所示。

圖2 單自由度主動電磁控制系統Fig.2 The one DOF active electromagnetic control system

圖2中主動電磁控制系統包含轉子、1對電磁鐵、位移傳感器、控制器以及功率放大器5個部分。主動電磁控制系統采用電流驅動方式[17]，單自由度方向的一對電磁線圈采用差動驅動。如果將2個電磁鐵的中心設置為目標位置，則轉子先由偏置電流i0通過線圈產生的電磁力吸到任意一方，位移傳感器實時監測轉子的位移，并將此時轉子的位移信號傳送到控制器，控制器根據控制算法基于轉子實際位置與目標位置的誤差計算電流控制信號，控制信號則通過功率放大器轉化為控制電流i，電流通過電磁線圈產生相應的電磁場，這樣轉子在電磁場中受到2個電磁鐵控制力f1和f2的作用而穩定懸浮在目標位置。

根據轉子結構參數可知，轉子質量約為2.8 kg，因此偏置電流產生的力應該大于等于轉子質量。假設所用磁材料是各向同性的，磁路中的磁場是均勻分布，忽略磁路的漏磁以及渦流效應等非理想因素，結合所需要的懸浮力以及轉子直徑設計，主動電磁控制系統仿真參數見表3。

表3 主動電磁控制系統仿真參數Tab.3 Simulation parameters of the active electromagnetic control system

基于表1設計參數，圖2中的單自由度主動電磁控制系統的運動方程可以表示為

電磁鐵產生的控制電磁力為

式中：fi為電磁鐵產生的電磁力，N；m為轉子質量，kg；μ0為真空磁導率，(π×10-7)H/m；N為線圈匝數；A為磁極面積，m2；i為控制電流，A；x為轉子的位移，m。

由于主動電磁控制系統采用差動驅動方式，則在差動驅動下，一個線圈的電流為偏置電流和控制電流兩部分電流之和，另一個線圈的電流為兩部分電流之差。因此線圈產生的合力為

式中：i0為偏置電流，A；x0為電磁鐵與轉子之間的距離，m。

將式(7)在平衡位置（i=0，x=0）處進行泰勒展開，并略去高階項，得到電磁力的線性表達式

式中，ks為位移剛度，ki為電流剛度。

因此，根據系統的運動方程可以得到轉子在電流控制下的傳遞函數為

2.2 主動電磁控制系統仿真

主動電磁控制系統是開環不穩定系統，因此需要設計閉環反饋控制器。本文采用PID控制算法，該算法是通過給定值和輸入值的偏差結合控制算法生成控制信號，從而控制被控對象。控制器的參數則是通過極點配置法[18]確定，主動電磁控制系統如圖3所示，PID控制器參數見表4。

圖3 主動電磁控制系統Fig.3 Block diagram of active electromagnetic control system

表4 PID控制器參數Tab.4 The active electromagnetic control system’s parameters

采用MATLAB/Simulink進行仿真，仿真模型中轉子的初始位移設置為0.6 mm，參考位置信號為0，仿真時長為0.5 s。圖4為轉子從初始位置懸浮至參考位置的結果。

圖4 轉子懸浮響應Fig.4 Suspension response of the rotor

由圖4可見，主動電磁控制系統在大約0.2 s后穩定，初期產生了一定的超調，超調量最大為0.25 mm，遠小于電磁鐵和轉子之間的氣隙0.6 mm，不會造成轉子磨碰現象。圖5為轉子穩定懸浮0.25 s時給轉子施加5 N外力的結果。由圖5可見，轉子穩定懸浮后，施加外力轉子會偏移平衡位置但在控制器的作用下很快又回到平衡位置，即設計的PID控制器可以實現轉子的穩定懸浮。

圖5 轉子受外力時的響應Fig.5 Response of the rotor to external forces

3 主動電磁控制下轉子振動分析

為了清楚展示主動電磁控制對自激振的抑制效果，分別計算滑動軸承支承轉子在未采用主動電磁控制和采用主動電磁控制時軸承處的不平衡振動響應。圖6為轉子系統受力分析，圓盤偏心質量產生的不平衡力疊加在節點6上，2個軸承的非線性油膜力分別施加在節點3和節點9上，主動電磁控制系統的剛度和阻尼施加在節點5所在的剛度和阻尼矩陣中，控制器參數選取表4中的參數，用四階龍格-庫塔法求解該動力學方程。

圖6 轉子系統受力分析Fig.6 Force analysis of the rotor system

對未采用主動電磁控制時的轉子在轉速范圍為8~120 Hz時進行升速仿真。由于轉子是對稱結構，且不平衡力施加在轉子對稱中心，因此兩軸承處的響應一致。圖7為軸承1處x和y方向的位移響應。從圖7可以看出，轉子的振幅隨著轉速的上升而增加，轉速超過48 Hz后逐漸減小，當轉速上升到92 Hz后再次增大且保持不變。

圖7 未采用主動電磁控制升速過程中軸承1處位移響應Fig.7 Displacement response of bearing 1 during run-up

為了更加直觀地得到其振幅、轉速與渦動頻率的關系，圖8給出了軸承1處x方向響應的瀑布圖。圖8中的結果與圖7中x方向的位移響應相對應，隨著轉速的增加，同步振動的振幅逐漸增大，在48 Hz時出現第1個峰值，此時為轉子的一階共振頻率。轉子跨過共振頻率后振幅逐漸減小，在接近2倍的一階共振頻率時半頻率渦動起主導作用，圖8中轉速高于92 Hz的部分由于自激振動導致振幅顯著增加。

圖8 未采用主動電磁控制軸承1處x方向位移響應瀑布圖Fig.8 Waterfall diagram of displacement response in x direction at bearing 1 location

圖9為采用主動電磁控制后支承轉子的軸承在轉速范圍8~120 Hz時升速的位移響應結果。從圖6中可知，由于主動電磁控制系統的剛度阻尼施加在節點5處，并不在轉子對稱中心，因此2個軸承處的振動響應不同。從圖9可以看出，在轉速范圍內2個軸承的振動響應趨勢相同，隨著轉速的增加，同步振動的振幅增大，在70 Hz出現第1個共振峰，且轉子跨過共振頻率后振幅逐漸減小，且軸承1的振動幅值明顯小于軸承2，這是由于施加的電磁主動控制系統更加靠近軸承1。圖10和圖11分別為軸承1和軸承2處x方向位移響應的瀑布圖。

圖9 采用主動電磁控制后轉子軸承處響應Fig.9 Response of bearings under active electromagnetic control

圖10 采用主動電磁控制后軸承1處x方向位移響應瀑布圖Fig.10 Waterfall diagram of displacement response in x direction at bearing 1 location

圖11 采用主動電磁控制后軸承2處x方向位移響應瀑布圖Fig.11 Waterfall diagram of displacement response in x direction at bearing 2 location

通過對比圖8與圖10和圖11可以看出，當采用主動電磁控制后，轉子系統的一階固有頻率從48 Hz提高到70 Hz，且2個軸承的振幅較未施加主動電磁控制均有所減小，并且在轉速范圍8 ~120 Hz內未出現自激振動。

以上仿真結果表明，采用主動電磁控制能夠有效抑制自激振動。CHEN等人[19]進行了電磁激勵器抑制轉子系統油膜振蕩的試驗研究，其主動電磁控制采用PD閉環反饋控制。在未控制時發生了自激振動，而當自激振動將要產生時進行主動電磁控制自激振動即被消除。本文自激振動抑制仿真結果與文獻[19]實驗結果一致，證明了本文主動電磁控制下的非線性油膜力滑動軸承柔性轉子系統動力學模型仿真結果的正確性，該模型可以為滑動軸承在高速工況下的振動抑制以及主動電磁控制系統的應用提供理論依據。

4 結 論

1）通過建立非線性油膜力滑動軸承柔性轉子系統動力學模型，得到軸承處轉子在未采用主動電磁控制時的響應，通過瀑布圖分析得到其固有頻率和自激振發生的頻率。依據轉子模型的參數設計了主動電磁控制裝置和控制器，并且通過數值仿真分析了轉子系統在主動電磁控制下的振動特性。

2）未采用主動電磁控制時，自激振動發生在約2倍的一階臨界轉速附近；控制器參數影響著主動電磁控制系統的剛度和阻尼，采用PID控制器時，系統的剛度與參數P有關，系統的阻尼除了與I和D有關外，還與被控對象的頻率有關。

3）采用主動電磁控制時，由于主動為被控對象提供了額外的剛度和阻尼，不但可以提高發生一階共振時的頻率，降低過臨界時振動幅值，還可以有效抑制自激振動的發生。因此，對于高速旋轉的轉子系統，采用主動電磁控制系統，通過設計合理的控制器，可抑制自激振動提高轉子系統的穩定性。