辛普森悖論

小學期末考試成績出來了，學校對每個班的成績進行綜合比較并排名，而張老師為此煩惱不已——在他擔任班主任的班級里，男生的平均成績與女生的平均成績均在全年級排名第一，但在綜合排名中屈居中流。為什么會出現這種現象呢？原來，在小學階段，女生的成績一般要好于男生，而該班男生居多，結果使得該班在綜合排名中“吃虧”了。

在分組比較中占據優勢的一方，在綜合評估中卻成為失勢的一方。這是一個著名的統計現象，被稱為辛普森悖論。此悖論凸顯了綜合比較的謬誤。為了更好地理解這一點，我們在此提供一個更加詳細的案例：一家醫學實驗室對某種疾病的新舊兩種療法進行對比實驗。在實驗中，按照性別，病人被分成兩組。實驗結果顯示，對于男性病人組，新舊兩種療法的治愈率分別為80%與75%；對于女性病人組，則分別為67%與50%。對于每一組，新療法的效果顯然都要優于舊療法。然而，當研究人員對實驗結果進行匯總統計后卻發現，新療法竟然劣于舊療法——新療法匯總的治愈率為66%，而舊療法匯總的治愈率為73%。辛普森悖論在此出現，其根源是，研究人員在分配療法給男女病人時，沒有做到分配的隨機性，新療法主要用于女性病人，從而其匯總的治愈率處于67%與80%之間，并更接近于67%；而舊療法主要用于男性病人，從而其匯總的治愈率處于50%與75%之間，并更接近于75%。換言之，新療法用于女性病人的療效與舊療法用于男性病人的療效，主導了綜合評估的結果。

辛普森悖論表明，要進行科學的綜合比較，必須滿足比較的公平性，即相互間要具有可比性。例如，在比較小學班級的成績時，每個班級中男女生所占比例不同，就會使得班級間缺乏可比性；在比較新舊兩種療法的療效時，每種療法中男女患者所占比例不同，就會使得療法間缺乏可比性。然而問題在于，比較對象難免存在很多差異，那么在實踐中，我們究竟該如何控制各種差異對綜合比較的“污染”呢？以小學班級成績比較為例，我們首先應基于理論、常識或者經驗，對差異如何“污染”綜合比較有所認識。例如，在比較小學班級的成績時，我們要認識到，小學階段的女生在心智上一般要比同齡男生更成熟，進而其成績一般要好于男生，結果使得一個班級的男女生所占比例會影響班級的綜合排名。接下來要認識到，除非在當初組成班級時遵循了男女生隨機分班原則，從而保證了每個班級的性別比例基本一致，否則進行綜合比較是不公平的。如果不是男女生隨機分班呢？此時，為了滿足比較的公平性，我們應該在班級間對男女生進行分組比較。

在日常生活中，不少排行榜都是綜合比較的結果，很可能因為忽視了可比性而產生辛普森悖論。因此，在面對那些五花八門的排行榜時，我們須擦亮眼睛，謹防被誤導。

（火箭熊摘自2019年10月2日《今晚報》，河川圖）