高超聲速飛行器有限時間耦合模糊控制

2020-12-01 07:13:32郭建國魯寧波周軍

航空學報 2020年11期

郭建國，魯寧波，周軍

西北工業大學精確制導與控制研究所，西安 710072

高超聲速飛行器由于有諸多優點，備受世界各國重視，同時也具有諸多的研究難點，其中之一是飛行控制系統的設計，原因在于其飛行環境復雜，以及數學模型存在非線性、強耦合、快時變、強不確定性等特點[1-2]。

對于高超聲速飛行器而言，為了實現大范圍機動通常采用傾側轉彎的控制策略，在這一過程中，由于彈體的快速滾轉會使得俯仰和偏航通道出現強烈的耦合，同時，角速度子系統和角度子系統也會產生強烈的耦合，這些耦合很容易造成高超聲速飛行器不穩定而導致任務失敗。

另外，由于高超聲速飛行器的飛行空域特殊性以及舵的控制能力有限給高超聲速飛行器的飛行控制帶來了巨大的挑戰。

目前對耦合的處理有2種方法：解耦和不解耦。解耦最常用的方法是動態逆[3]，其思想是首先對非線性耦合特性進行準確建模，之后采用動態逆的方法設計控制器使得模型解耦，解耦后的模型采用變結構控制[4-10]、μ綜合[11-12]、H∞控制[12]等方法設計控制器。

解耦方法的局限性有兩點：首先，高超聲速飛行器的飛行環境復雜，高度變化范圍大，這導致氣動參數出現大范圍變化，同時存在諸多不確定因素，例如：風干擾等，以及無法建模的動態過程造成其數學模型與實際情況有一定的差距，無法得到精確的數學模型，另外，加之耦合具有快時變性。在這種情況下采用解耦的控制器設計方法，會使得高超聲速飛行器的控制性能受到很大影響。其次，由于耦合是快時變的，因此，無法實現實時解耦。

不解耦方法的核心思想是在控制器的設計中充分考慮耦合的影響，通過適當的方法進行補償。首先，將耦合系統表示成的關聯大系統形式，利用關聯大系統的Lyapunov穩定理論及其Riccati方程設計滑動模態及變結構控制[13]，該方法對于處理系統的耦合具有很好的效果，但是缺點是對舵的控制要求較高，要求控制器具有很強的控制能力。其次，為了兼顧控制性能和控制器的控制能力，控制領域專家們開始注重于研究耦合評價問題[14-16]，早在1966年，就有學者開始研究多變量系統耦合測量問題[17]。首先在頻域范圍內進行耦合分析[18-20]，如印度學者Gigi和Tangirala[17]對耦合進行了分析評價，并將其應用到控制器設計，該方法對于耦合的處理提出了一種新的思想，但是其局限性在于僅在頻域范圍內對耦合進行評價，缺少時域的分析評價，對于時域范圍內的控制器設計缺乏指導。

為了解決時域控制器設計問題，提出了基于Lyapunov穩定性理論的耦合評價方法，來設計控制器[21-22]。這一理論對于時域的控制器設計具有重要的指導意義，但是，還存在如下問題：

1) 基于耦合評價指標切換引起的控制輸入抖振問題。

2) 系統對耦合效應的自適應問題。

3) 伺服系統的動態特性問題。

針對以上前問題，采用模糊控制的方法，將耦合對系統的影響連續化處理，既解決了控制輸入引起抖振問題，又能保證系統對耦合特性的自適應性。另外，考慮到工程實際中舵系統的效應，因此這里將舵系統引入到控制模型中。

1 問題分析及描述

1.1 高超聲速飛行器數學模型

高超聲速飛行器動力學模型為[22]

(1)

氣動力和力矩表達式為

(2)

式中：q=0.5ρV2為動壓，ρ為大氣密度；S、L為飛行器的特征面積和特征長度；CY、CZ為氣動系數；mx、my和mz為氣動力矩系數，實際飛行過程中，通過氣動插值得到。

氣動力系數與氣動力矩系數關于飛行狀態的近似表達式為

(3)

(4)

式中:τ1、τ2和τ3為滾轉航系統時間常數。

綜合式(1)和式(4)，可得控制模型為

(5)

1.2 跟蹤問題描述

(6)

式中：x2c、x3c為虛擬控制量；B1e2、B2x1和B3e3為子系統間的耦合項，B1e2為角速度子系統對角度子系統的影響，B2x1、B3e3為角度子系統和舵系統對角速度子系統的影響。

假設1參考指令及其一階導數光滑、有界并且已知。

2 控制系統設計

高超聲速飛行器要求響應具有快速性和對各種不確定性具有強魯棒性，并對耦合進行“選擇性”的補償[20]，在此過程中，采取了模糊控制的思想，使得控制律更為平滑。

實際中，外部干擾難以獲取，因此采用了干擾觀測器對其估計，并在控制律中進行補償，干擾觀測器具體形式為

(7)

對系統(6)采用基于李雅普諾夫穩定性理論的耦合評價方法，采用終端滑模設計控制律。

引理[5]采用如下滑模面

(8)

式中：a，b，c均為可調參數。當l=2時，當進入滑模面后，從任意有限初始狀態x(0)出發的軌跡收斂到原點所需要的時間為

(9)

當|x(0)|>1時,

(10)

當|x(0)|≤1時,

(11)

式中：k為正整數；Θ(·)取最小正值。

選取滑模面為

(12)

(13)

因此，基于這個目的定義評價指標：

式中：J(Θ12)=sgn(s1?B1e2)，Θ12表征第一通道受第二通道的影響。

采用指數趨近律

(14)

式中：k1、ε1為對角正定矩陣。

考慮e1子系統，得虛擬控制器

(15)

注1實際中，式(15)的導數難以獲取，故采用一階濾波器。

(16)

接下來證明角度子系統在式(15)的作用下是有限時間穩定的。

(17)

(18)

從式(18)中可以看出，如果判斷耦合有利于系統穩定，則第1項會被保持，如果不利于系統穩定，則第1項會被抵消，如果判斷J(Θ12)=0，則表明系統不存在耦合，故第1項不存在。第2項、第3項以及第4項均為負值，而最后一項，根據Young不等式，有以下不等式成立。

(19)

式中:σb為指令信號變化的邊界值，綜合以上分析，得到如下不等式:

(20)

(21)

從式(21)可以看出，系統狀態能夠在有限時間收斂到一個很小的鄰域內。其中，σb由一階濾波器引入，實際上降低了系統的穩定程度。

為了克服切換所引起的抖動，引入模糊系統代替切換[9]，同時能保證控制輸入的平滑。令Θ1為模糊系統的輸入，UF為模糊系統的輸出，對UF和Θ1的規則集合作如下定義：

Θ1={NB, NM, Z, PM, PB}

UF={NBU, NMU, ZU, PMU, PBU}

式中: 耦合項Θ1為對系統的影響：NB為強度較大的不利耦合;NM為強度中等的不利耦合;Z為系統不存在耦合；PM為強度中等的有利耦合。PB強度較大的有利耦合。同樣，模糊系統的輸出UF與之對應為：NU不利影響下的輸入，ZU為無影響下的輸入，PU是有利影響下的輸入，因此，以上的模糊規則總結如下：

Rule1: ifΘ1is NB, thenUFis NBU.

Rule2: ifΘ1is NM, thenUFis NMU.

Rule3: ifΘ1is Z, thenUFis ZU.

Rule4: ifΘ1is PM, thenUFis PMU.

Rule5: ifΘ1is PB, thenUFis PBU.

采用中心平均去模糊化的方法，設計控制律：

x2c=

(22)

式中：w11、w12、w13、w14、w15均為對角陣，取值為[0 1]，并且滿足:

w11+w12+w13+w14+w15=I

標稱虛擬控制量為

(23)

虛擬控制器為

(24)

式(24)即為角度子系統的虛擬控制器。

下面證明系統在式(24)的作用下是穩定的。

證明：選取Lyapunov函數如V1所示，區別起見，記為V′1，對其關于時間求導，可得

(25)

由于，r12是時變的，因此，式(25)做如下處理:

(26)

由于第1項始終為負，所以可得

(27)

因此，在控制律(24)的作用下，角度子系統能夠在有限時間內收斂到一個很小的鄰域。

tangle≤max{tα，tβ，tγv}

(28)

式中:tα、tβ和tγv為通過引理確定的最大值。

對于角速度子系統，選取滑模面為

(29)

(30)

綜上所述，為了保證系統的穩定性，根據評價指標，定義J(Θ21)和J(Θ23)為

式(31a)和式(31b)分別表示第二通道受到第一通道和第三通道的耦合影響，可得虛擬控制器為

(32)

以下證明角速度系統在式(32)作用下是穩定的。

(33)

式中:T1為時間濾波常數。

(34)

(35)

從式(35)可以看出，系統狀態能夠在有限時間收斂到一個很小的鄰域內。其中，σ1同樣由一階濾波器引入，會降低系統的穩定程度。

采用模糊控制方法克服耦合控制中的抖動問題，得到控制器為

(36)

(37)

下面證明角速度系統在式(37)作用下是穩定的。

證明：選取Lyapunov函數如V2所示，區別起見，記為V′2，對其關于時間求導，得

(38)

由于式(38)的前兩項始終為負，可得

(39)

因此，在控制律(36)的作用下，角速度子系統能夠在有限時間內收斂到一個很小的鄰域。

trate≤max{tωz,tωy,tωx}

(40)

式中：tωz、tωy和tωx為通過引理確定的最大值。

下面考慮舵系統的控制器設計。由于舵系統不存在通道間的耦合，所以直接進行控制器設計。選取滑模面為

(41)

采用指數趨近律，得到如下所示的控制器：

(42)

下面證明舵系統是穩定的。

(43)

(44)

(45)

從式(45)可以看出，舵系統狀態能夠在有限時間收斂到一個很小的鄰域內。

tδ≤max{tδz,tδy,tδx}

(46)

式中：tδz、tδy、tδx為通過引理確定的最大值。

由此可得閉環系統收斂的時間為

tclose≤tangle+trate+tδ

(47)

注5為避免滑模控制設計中引入的符號項引起抖動，采用邊界層方法進行替換。

下面證明閉環系統的穩定性。

證明：選取Lyapunov函數為

V=V1+V2+V3

(48)

對式(48)關于時間t求導

(49)

根據Young不等式，

(50)

3 仿真分析

高超聲速飛行器的模型參數和氣動參數可參考文獻[21]，設置迎角指令為5°的方波信號，傾側角指令為-5°的方波信號。初始高度為27 km，初始速度為5Ma，下面分別從舵系統、控制方法的有效性以及氣動拉偏3個方面對基于耦合的模糊控制(Coupling-based Fuzzy Control, CBFC)與基于耦合控制(Coupling-based Control, CBC)進行對比分析。

控制器參數為

a11=0.1,a12=5,a13=3,b11=1,b12=7,b13=5,k11=0.5,k12=0.5,k13=0.5,ε11=0.5,ε12=0.5,ε13=0.5,a21=0.1,a22=5,a23=3,b21=1,b22=5,b23=5,k21=0.1,k22=0.5,k23=0.5,ε21=5,ε22=0.5,ε23=0.5,a31=0.1,a32=5,a33=3,b31=1,b32=5,b33=5,k31=0.1,k32=0.5,k33=0.5,ε31=0.5,ε32=0.5,ε33=0.5。

觀測器參數為

σ01=0.1,σ02=0.1,σ03=0.1,σ11=100,σ12=100,σ13=100。

3.1 引入舵系統仿真

考慮了一階環節舵系統的特性，時間常數為15 s-1。下面對這兩者進行仿真分析。

首先給出了給出了考慮舵系統和不考慮舵系統的情形下采用CBFC控制器的對比情況。圖1 為迎角、側滑角以及傾側角的對比仿真，圖2為與之對應的舵偏曲線。圖1 中考慮舵系統的CBFC控制器，從迎角、側滑角以及傾側角可以看出響應曲線更加平滑，超調量更小，對于系統要求較低，主要原因是一階環節的延遲特性引起的。圖2中是與之對應的舵偏角曲線，從中可以看出由于考慮了舵系統后，舵偏曲線變化程度有所減弱，舵偏曲線較CBFC控制器的舵偏曲線更加平滑，同樣響應的速度有所減緩。

圖1 舵效特性下的姿態角曲線Fig.1 Curves of attitude angle under rudder effectiveness

圖2 舵效特性下的舵偏角曲線Fig.2 Curves of deflections under rudder effectiveness

總體而言，引入舵系統動態特性后，可以使系統的響應曲線以及舵偏的變化更加平滑，同時減少了超調量，考慮舵系統在仿真過程中更接近實際情況。

3.2 對比仿真

考慮對采用CBFC控制器和CBC的控制器進行對比仿真。圖3分別為迎角跟蹤指令、傾側角跟蹤指令以及側滑角穩定控制的仿真對比分析。

圖3為高超聲速飛行器的迎角、側滑角以及傾側角的響應曲線，從圖3中的迎角響應曲線中可以看出，在跟蹤方波信號時，采用CBFC控制器與CBC控制器相比，更平滑，沒有抖振，有效抑制了耦合評價過程中的抖振現象。同樣從側滑角和傾側角的響應曲線可以看出，抖振明顯減小并且具有很快的收斂性，圖4為與之對應的舵偏曲線，從圖4可以看出，舵偏曲線的抖振現象明顯降低。