全模顫振風洞試驗三索懸掛系統多體動力學分析

趙振軍，閆昱，曾開春，趙治華

1. 北方工業大學 機械與材料工程學院，北京 100144 2. 中國空氣動力研究與發展中心 高速空氣動力研究所，綿陽 621000 3. 清華大學 航天航空學院，北京 100084

全模顫振風洞試驗是飛行器整機顫振設計與驗證的主要手段。在部件之間耦合程度較低的情況下，利用部件或半模顫振試驗來校驗飛行器的顫振特性一般能夠滿足工程需求。隨著飛行器構型的發展和結構優化要求的提高，部件之間的相互影響越來越復雜，需要通過全模顫振試驗研究飛行器的整機顫振特性[1]。

開展全模顫振試驗，需要為模型設計專門的支撐系統，一方面需要有較低的支撐頻率，模擬飛行器自由飛行狀態，減少支撐對全機顫振特性的影響，另一方面，在來流動壓變化情況下，需實時調整模型姿態確保模型受到的氣動靜載荷最小，并保證在吹風試驗中模型的姿態穩定。

目前世界上針對全模顫振支撐系統主要有立柱式和懸索式[2]，立柱式支撐系統主要提供俯仰和沉浮兩個自由度，懸索式支撐系統可以提供沉浮、側擺、俯仰、滾轉和偏航等5個自由度，懸索式支撐系統有兩類，一類是以美國NASA Langley研究中心研制的跨聲速動力學風洞(TDT)雙索懸掛系統為代表[3-4]，一類是以俄羅斯中央流體研究院研制的懸浮支撐系統為代表，路波等[1]綜述了兩類懸索式支撐系統的結構原理。兩種懸索式支撐方案模型均具有沉浮、俯仰、側擺、滾轉和偏航5個剛體自由度，并且可以通過控制鋼繩的張力來調整支撐系統的剛度。由于雙索懸掛系統在風洞試驗段內只布置鋼繩和模型，鋼繩通過滑輪與布置在風洞外壁面的控制裝置、彈簧預緊裝置等連接，因此對模型的氣動干擾小，有利于準確獲取模型的顫振特性，且該系統繩索布置靈活，對模型的適應性好[5]，可用于大型運輸機、民用客機[6]、導彈[7]等飛行器的全模顫振試驗。由于該系統模型前后均布置一根索，在開展全模顫振風洞試驗時繩索系統無法對模型滾轉姿態進行控制。懸浮支撐系統通過布置在模型上方的鋼繩進行滾轉姿態控制，而該系統需要在風洞試驗段內部布置控制裝置、立柱、彈簧預緊裝置等，對模型的氣動干擾相對較大，對模型的適應性受到立柱、控制裝置限制。本文借鑒雙索懸掛系統氣動干擾小的優點，在此基礎上，將模型后方布置的一根索調整為兩根索，通過兩根索同向和反向聯動實現模型俯仰和滾轉姿態均可控制，可以更有效保證在吹風試驗中模型的姿態穩定。

目前，中國空氣動力研究與發展中心在2.4 m 跨聲速風洞中采用懸浮支撐系統方案[8-9]開展了全模顫振試驗，而雙索懸掛系統尚未在國內應用。路波等[8]介紹了2.4 m跨聲速風洞全模顫振試驗懸浮支撐系統的組成、試驗裝置結構及其特點、控制算法等。郭洪濤等[9]運用風洞試驗方法研究了戰斗機全模顫振特性,分析了模型在支撐系統上的穩定性、安全性以及典型顫振特性，驗證了高速風洞全模顫振試驗技術。目前在公開發表的文獻中僅能了解到雙索懸掛系統的大概系統構成，尚無法了解詳細結構和運行過程，對其動力學機理也不清楚。

綜合考慮美俄兩種懸索式支撐方案的優缺點，本文提出一種氣動干擾小，模型適應性強，滾轉與俯仰姿態均可控的全模顫振三索懸掛系統，基于柔性多體動力學方法，建立三索懸掛系統的動力學模型，開展平衡位置切線模態特性以及控制仿真研究，為全模顫振試驗懸掛系統設計提供技術支撐。

1 三索懸掛系統工作原理

兩電機驅動的三索懸掛系統方案如圖1所示，三索懸掛系統主要由三組鋼繩組成，如圖1(a)所示，綠色為前索，紫色和橙色分別為左索和右索。前索位于垂直平面內，通過滑輪形成閉環，前索不連接彈簧，由于索的伸長量可忽略不計，使得前鋼繩與模型連接點F的運動軌跡限制在以兩滑輪軸O1與O2為焦點的橢圓繞O1O2連線旋成的橢球面上，限制了航向自由度。圖1(a)中，Oxbybzb為模型連體坐標系，xb軸、yb軸、zb軸分別指向模型前方、上方、右方，Srl1、Srl2、Srr1、Srr2、Sf分別為后左索上方滑輪處索位移、后左索下方滑輪處索位移、后右索上方滑輪處索位移、后右索下方滑輪處索位移、前索上方滑輪處索位移。

后方的兩根索各有一臺電機驅動，分別為圖1(a) 中的左電機和右電機，通過固定在風洞壁面上的定滑輪、與彈簧連接的動滑輪以及電機絞盤形成閉環，使得模型具有沉浮、俯仰、側擺、滾轉和偏航等5個自由度，通過彈簧剛度選擇和鋼繩張力控制可以實現這5個自由度上的振動頻率都足夠低，以使風洞懸掛的飛行器模型動特性能足夠接近飛行器在空中飛行時的動特性。

三索懸掛系統通過后方兩根索的同向或反向聯動實現模型俯仰和滾轉姿態的調整，滾轉姿態調節方法如圖1(b)所示，后方兩電機彼此反向聯動，左右子圖分別實現繞xb軸正向和負向的滾轉。俯仰姿態調節方法如圖1(c)所示，模型后方左右電機彼此同向聯動，左右子圖是實現繞zb軸正向俯仰時的側視圖和后視圖。

圖1 三索懸掛系統示意圖Fig.1 Schematic of three-cable mount system

2 柔性多體動力學建模

大變形柔性單元的發展為索驅機構多體動力學建模仿真提供了強有力的工具[10]。柔性多體系統動力學在建模方法上，主要可分為浮動坐標法、幾何精確法及絕對節點坐標法3類。絕對節點坐標方法由Shabana等[11]首先提出，選取全局坐標為廣義坐標，利用全局的斜率代替小轉動或者有限轉動來描述單元的運動，質量陣為常數陣，可以精確描述大轉動工況下慣量，大大降低了運動方程的非線性度[12-13]。Tang等[14]提出了一種基于絕對節點坐標方法的時變柔性索梁單元，使用節點的絕對坐標與斜率描述單元構型，并考慮了邊界質量流動的影響。Hong和Ren[15]提出了以任意拉格朗日-歐拉描述(ALE)的歐拉-伯努利梁模型，并采用多體動力學的約束方法建立了沿一維柔性介質移動的滑動鉸模型。Du 等[16]提出了一種僅采用節點位置矢量作為廣義坐標的變長度索單元，不計單元彎曲和扭轉變形，研究了繩索驅動的并聯機器人。Escalona[17]提出了一種變長度索單元，通過引入一個轉角坐標考慮單元扭轉變形，并研究了經典的滑輪繩索系統動力學。Yang等[18]對上述變長度的索、梁單元進行綜合，提出一種ALE絕對節點坐標變長度梁單元。該單元采用兩個節點的位置矢量、斜率矢量、兩個物質坐標和兩個截面扭轉角作為廣義坐標，從而可描述變長度梁結構的扭轉變形。Peng等[19]發展了ALE變長度索單元，將物質坐標引入到索單元廣義坐標中，并提出了繩索過滑輪系統的簡化建模方法，為本文索和滑輪動力學建模提供了基礎。

三索懸掛系統的動力學建模思路如下：

1) 由于主要關注飛機模型的整體運動以及索懸掛系統的動力學，飛機模型簡化為剛體。

2) 鋼繩利用ALE變長度索單元描述。

3) 鋼繩與滑輪間相互作用利用索單元節點上不約束物質坐標的約束描述。

4) 彈簧利用彈簧阻尼單元建模。

5) 模型與鋼繩連接利用球絞約束建模。

6) 伺服電機驅動采用索單元結點上的物質輸運速度約束描述。

7) 模型受到的氣動力和氣動力矩采用飛行力學中的氣動力模型給出。

8) 姿態控制通過多體動力學求解器與Simulink聯合求解實現。

2.1 ALE變長度索單元

懸索系統中的鋼繩與滑輪存在接觸和摩擦等作用，并依靠伺服電機絞盤提供控制。如果利用常用的拉格朗日描述索單元對鋼繩進行建模，用接觸模型考慮繩與滑輪間的相互作用，繩索劃分與滑輪尺度適應的細密網格，計算量較大。本文利用洪迪峰等[20]、彭云[21]開發的ALE變長度索單元對鋼繩進行建模。

與傳統的拉格朗日描述不同，在ALE變長度索單元的節點廣義坐標不僅包括節點的全局坐標r，還包含物質坐標p，即起始點到結點的繩長，如圖2所示。

因此，兩節點索單元的廣義坐標為

(1)

式中：下標 1、2 表示節點編號。為了描述單元內部任意物質點的位置r，引入形函數Ne：

r=Neqe

(2)

與Lagrange索單元不同的是，由于邊界物質流動導致ALE索單元形函數的自然坐標ξ是隨時間變化的，因此ALE索單元的形函數也是隨

圖2 兩節點ALE索單元Fig.2 ALE cable element of two nodes

時間變化的。對r=Neqe求導：

(3)

(4)

式(3)等號右邊第1項為局部導數，第2項為由于物質輸運引起的遷移導數，此處體現了ALE索單元與Lagrange索單元的差異。在此基礎上，基于虛功原理可以推導系統的質量陣和廣義力[21]。

鋼繩與滑輪相互作用可以處理成ALE索單元結點上的約束：

rp-rp0=0

(5)

式中：rp0為滑輪中心在全局坐標系下位置；rp是滑輪處鋼繩ALE結點p的位置，不約束物質坐標，鋼繩可以沿滑輪滑動。

2.2 氣動力建模

NASA Langley研究中心學者Reed和Abbott在雙懸索系統穩定性分析報告[3]中給出了完整的氣動力方程、飛行器模型氣動力參數以及詳細質量參數、幾何參數。本文三索懸掛系統分析中使用的飛行器模型與Reed給出的模型氣動外形一致，幾何尺寸等比例放大1.36倍以滿足系統研制要求，因此本文的氣動力建模采用文獻[3]給出的氣動力模型和氣動力參數，如圖3所示，該模型中，飛行器模型受到的氣動力與氣動力矩表示為

(6)

圖3 氣動力模型參數定義Fig.3 Definition of aerodynamic model parameters

式中：

2.3 控制系統建模

利用電位計測量三索環路中6個定滑輪轉角，獲得每條鋼繩相對初始位置的位移，并作為姿態控制的測量信號反饋給控制器，如圖1(a)所示，滑輪處索位移均以從滑輪到模型連接點索伸長為正。控制器根據所設計的控制律發出姿態控制指令給伺服電機，伺服電機通過收放鋼繩調整模型姿態，確保模型受到的氣動靜載荷最小，并保證在吹風試驗中模型的姿態穩定，如圖4所示。

表1 氣動力系數與特征尺寸

根據幾何關系，鋼繩相對位移量Srl1、Srl2、Srr1、Srr2、Sf與模型垂向相對位移SVertical、俯仰相對位移SPitch、滾轉相對位移SRoll存在如下關系：

(7)

采用比例控制

(8)

圖4 控制系統示意圖Fig.4 Control system diagram

式中：KV、KP、KR為垂向、俯仰、滾轉通道的控制參數；第2個方程右端中的-KPSVertical體現了通過調整俯仰，進而改變氣動力，以達到調整垂向位置的目的，右端其他各項均用于增加穩定性，KV、KP、KR均要求大于0。

根據幾何關系，經控制律計算的輸出變量，即左右伺服電機卷揚速度為

(9)

將式(7)和式(8)代入式(9)，可以得到控制律的向量矩陣形式：

(10)

式中：

伺服電機驅動采用滑動鉸處的物質輸運速度約束描述，約束代數方程為

(11)

2.4 建模參數與求解方法

本文建模參數見表2，飛行器模型質量參數根據文獻[3]數據按顫振風洞試驗相似關系[2]計算得到，與表1給出的氣動力參數和特征長度參數對應。表2給出了標準工況的彈簧剛度、鋼繩預緊力、吊點位置等參數，在參數影響分析中的取值于后文中給出。

表2 模型參數Table 2 Model parameters

綜合飛機剛體模型、鋼繩ALE變長度索模型、氣動力學模型、彈簧阻尼模型、滑輪滑動鉸模型、球絞約束、電機物質輸運速度約束、姿態控制系統模型，可以得到索懸掛系統控制方程為

(12)

方程(12)是一個典型的全隱式index-3的微分代數方程(DAE)，可以通過隱式Runge-Kutta法 (IRK)、向后差分法(BDF)[22]等數值積分方法求解，本文使用BDF方法。

3 頻率特性與影響因素分析

由于張力索系統存在幾何非線性，為了獲得懸索支撐系統的頻率特性，首先求解懸索支撐系統的平衡位置，在平衡位置施加小擾動，獲得系統的自由響應，如圖5所示，對響應進行辨識，獲得系統的切線模態特性，如表3和圖6所示。

基于切線模態特性辨識結果，可以分析彈簧剛度、鋼繩張力、連接位置等影響因素對系統平衡位置切線模態特性的影響。彈簧與索是串聯關系，彈簧與索系統的總剛度由二者共同決定。對于目前選取的系統參數，隨著張力增加，各階剛體模態頻率增加，索的張力對系統的頻率產生較大影響，如圖6所示，可以通過調整索預緊力控制系統的頻率特性。選取不同的彈簧剛度，相同的預緊力情況下，模型頻率變化不大，如表2所示，其主要原因是彈簧布置在定滑輪和電機之間，在小擾動微幅振動時，模型的剛體模態頻率由定滑輪與模型之間的弦張力引起的幾何剛度主要決定，當振動幅度較大時，不同剛度的彈簧引起的張力變化不同，從而導致系統剛體模態頻率變化。圖7 給出了模型后方左右兩個吊點的距離對滾轉模態頻率的影響規律，左右兩個吊點的距離越大，滾轉模態頻率越高，滾轉頻率的平方與模型后方左右兩個吊點的距離成線性關系，表明后方左右兩個吊點的距離決定了滾轉的剛度。

圖5 平衡位置小擾動下模型自由響應Fig.5 Free response under small perturbations at equilibrium positions

表3 剛體模態辨識結果Table 3 Identified results of rigid-body modes

圖6 索張力對剛體模態頻率的影響Fig.6 Effect of cable tension on rigid-body modes frequency

圖8給出了前后兩個吊點的距離對俯仰模態頻率的影響規律，前后兩個吊點的距離越大，俯仰模態頻率越高，俯仰頻率的平方與前后兩個吊點的距離成線性關系，說明前后兩個吊點的距離決定了俯仰的剛度。

圖7 左右吊點距離對滾轉模態頻率的影響Fig.7 Effect of distance between left and right suspension points on roll mode frequency

圖8 前后吊點距離對俯仰模態頻率的影響Fig.8 Effect of distance between front and rear suspension points on pitch mode frequency

上述頻率影響因素分析結果表明：① 通過調節系統的初始預緊力可以控制系統初始狀態的整體頻率；② 選取合適的彈簧剛度，有助于控制模型大幅運動后的剛體模態頻率變化；③ 可以通過調整吊點位置控制某一階剛體模態的頻率。

4 姿態調整能力分析

基于建立的動力學模型可以分析姿態調整能力，仿真結果如圖9所示。

通過給定伺服電機速度邊界，用后方紫色與橙色索-電機同向聯動實現俯仰控制，能夠達到-12.5°～12.5°的調整能力范圍，見圖10。由圖10可知，在平衡位置附近，姿態調節效率較高，隨著俯仰角增加索張力和彈簧變形均增加,如圖11 和圖12所示，索的張力增加會引起系統的頻率增加，因此在利用索懸掛系統開展風洞顫振試驗時，應盡量減小模型的俯仰角變化。在接近俯仰角調節邊界時，電機驅動索會引起索的張力和彈簧變形繼續增加，而俯仰角不再增加。

圖9 俯仰姿態調節仿真Fig.9 Pitch attitude adjustment simulation

圖10 俯仰姿態調節范圍Fig.10 Pitch attitude adjustment range

利用后方紫色和橙色索-電機反向轉實現滾轉控制，仿真結果如圖13所示，能夠達到-45°～45°的調整能力范圍，見圖14，圖15給出了滾轉姿態調整仿真過程中索張力變化，隨著滾轉角增加，索的張力增加，在利用索懸掛系統開展風洞顫振試驗時，應盡量減小模型的滾轉角變化。在平衡位置附近，滾轉姿態調節效率也比較高，在接近滾轉角調節邊界時，電機驅動索會引起索的張力繼續增加，而滾轉角不再增加。

后索上下連接點距離對滾轉姿態調整能力存在影響,如圖16所示，后索上下連接點距離增加，調整能力降低，增加到與水平距離相當后，導致滾轉姿態無法調整。

圖11 不同俯仰角下索張力變化Fig.11 Cable tension with respect to pitch angles

圖12 不同俯仰角下彈簧變形Fig.12 Spring deformation with respect to pitch angles

圖13 滾轉姿態調節仿真Fig.13 Roll attitude adjustment simulation

圖14 滾轉姿態調節范圍Fig.14 Roll attitude adjustment range

圖15 不同滾轉角下索張力變化Fig.15 Cable tension change with respect to roll angles

圖16 后索上下連接點距離對滾轉角調整的影響Fig.16 Effect of rear suspension points separation distance on roll attitude adjustment

5 吹風狀態下姿態控制仿真

在本文建立的索懸掛系統多體動力學模型基礎上，通過將多體動力學求解器與Simulink結合進行了吹風狀態下的姿態控制仿真分析。

為了驗證本文提出的控制方法的有效性，考慮吹風動壓的階躍變化和高頻隨機脈動，見圖17。

未吹風情況下模型穩定在1.1 m高度附近；吹風后，未施加控制時，在升力的作用下上升到一定高度，最終收斂到新的平衡位置，結果表明，在階躍動壓作用下，系統表現了較強的穩定性；施加控制時，在升力的作用下上升，然后在控制的作用下，模型回到平衡位置附近，證明控制是有效的，如圖18所示。根據仿真結果，對于當前模型，后索拉力在10 kN以內，伺服電機功率在300 W以內，如圖19和圖20所示，可以為鋼繩和伺服電機選型提供參考。模型配平位置和姿態變化引起索連接點位置變化，進而引起索張力以及彈簧變形變化，合理的模型配平控制目標狀態有助于減小索張力以保證系統的軟支撐特性。

圖17 風洞吹風動壓時間歷程Fig.17 Time history of wind tunnel dynamic pressure

圖18 未吹風、吹風并控制、吹風無控3種情況下的質心高度時間歷程Fig.18 Height displacement of center of gravity in three cases: no blowing, blowing with control, and blowing without control

圖19 吹風狀態下姿態控制索拉力時間歷程Fig.19 Cable tension of attitude control simulation under blowing

圖20 吹風狀態下姿態控制左右電機功率時間歷程Fig.20 Left and right motor power of attitude control simulation under blowing

6 結 論

1) 提出了全模顫振風洞試驗三索懸掛系統方案，該系統具有五剛體自由度、支撐頻率低、氣動干擾小的特點，并利用模型后方兩根索的同向或反向聯動實現模型俯仰和滾轉姿態的調整，利用彈簧剛度以及鋼繩張力設計實現支撐頻率要求。

2) 基于ALE變長度索單元等柔性多體動力學方法，建立包括飛行器剛體模型、柔性索、滑輪、彈簧、氣動力模型、伺服電機控制在內的復雜系統多體動力學模型，在該模型基礎上，求解懸索支撐系統在平衡位置附近的小擾動自由響應，通過響應辨識獲得系統的切線模態特性，結果表明繩索張力、彈簧剛度、吊點分布等因素對系統平衡位置切線模態特性存在影響。

3) 基于建立的動力學模型分析了系統姿態調整能力，俯仰控制達到-12.5°～12.5°的調整能力范圍，滾轉控制達到-45°～45°的調整能力范圍。

4) 利用多體動力學求解器與Simulink聯合仿真，在階躍動壓作用下，系統表現了較強的穩定性，施加控制時，在升力的作用下上升，并在控制的作用下，模型回到平衡位置附近，證明控制是有效的，根據仿真結果可以獲得當前模型下的索拉力和伺服電機功率，為系統設計和選型提供參數計算方法。

致 謝

感謝清華大學任革學教授關于柔性多體動力學求解器的研究，為本文研究提供了計算軟件基礎。