學會基于教材的延伸性思考

黃秀旺

教材是老師和同學們進行教學活動的材料，是教學的主要媒介。蘇科版數學教材九年級上冊“對稱圖形——圓”給出了一些重要定理，而對于數學問題的探究來說，我們如果對定理做一些延伸性的思考，會得到更有價值的結論，有助于提升解決問題的能力。

一、教材對常用的結論做出了延伸性的結論

基本定理：教材第45頁“圓心角的度數與它所對的弧的度數相等”，第55頁“圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半”。

追問：圓周角的度數與它所對弧的度數之間的關系如何？

因為圓心角的度數與它所對弧的度數相等，圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半，所以圓周角的度數等于它所對弧的度數的一半。

例1 （2019·江蘇鹽城）如圖1，點A、B、C、D、E 在⊙O 上，且AB 為50°，則∠E+∠C= °。

【解析】∠E 與∠C 均為圓周角，它們所對的弧分別是DCB、DEA，由于AB 為50° ，所以DCB 與DEA 的度數之和為360°-50°，即310°，根據“圓周角的度數等于它所對弧的度數的一半”得到∠E+∠C=155°。

例2 如圖2，AB 是半圓，O 為AB 的中點，C、D 兩點在AB 上，且AD∥OC，連接BC、BD。若CD 為62° ，則∠ABD 為（ ）。

【解析】根據題意，AB 是直徑，∠ADB=90°，又AD∥OC，所以OC⊥DB，根據垂徑定理，CD=BC，因為CD 為62°，所以BC 也為62°。可以得到AD 為56°，根據“圓周角的度數等于它所對弧的度數的一半”得到∠ABD=28°。

二、教材“練習”對定理做出延伸性的思考

教材第60頁的練習3：如圖3，四邊形ABCD 是⊙O 的內接四邊形，∠C=130°。求∠BOD 的度數。

追問1：一般地，∠C 與∠BOD 有怎樣的數量關系？

根據教材第59頁“圓內接四邊形的對角互補”，第55頁“圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半”可以得到∠C+ ∠A=180° ，∠A=12∠BOD，所以∠C+12∠BOD=180°。

例3 （2018·江蘇蘇州）如圖4，AB是半圓的直徑，O 為圓心，C 是半圓上的點，D 是AC 上的點，若∠BOC=40°，則∠D的度數為（ ）。……