淺論空氣質量的校準

蘇梅容 鄒涌濤 胡捷

摘 要：本文首先對自建點和國控點的數據進行探索性數據分析，利用主成分分析法和因子分析法分別對國控點和自建點的數據進行簡要的分析，得出一些初步的結論。其次對導致自建點數據與國控點數據造成差異的因素進行分析。對國控點和自建點的“兩塵四氣”建立一元線性模型進行一一對比，最后再利用多元線性回歸逐個分析每個因素的影響程度。但由于非常規氣態污染物（氣）濃度變化對傳感器會存在交叉干擾，所以我們接著用相關性分析對每個因素的交互干擾進行分析。最后，利用國控點數據，建立數學模型對自建點數據進行校準。

關鍵詞：主成分分析;因子分析;相關性分析;線性回歸;校準

一、問題假設和符號說明

（1）假設忽略空氣中其他污染物對微型空氣質量檢測儀造成的影響。

（2）假設該地區各種影響空氣質量的軟因素（如工業發展，人口數量）保持平穩變化。

X1～X6分別表示自建點的PM2.5、PM10、CO、NO2、SO2、O3;X7～X11分別表示溫度、濕度、風速、氣壓、降水;β0、β1、…βn是多元線性方程的參數。

Y1～Y6分別表示國控點PM2.5、PM10、CO、NO2、SO2、O3。

二、模型建立與求解

（一）主成分分析法

主成分分析[1]，是一種統計方法。通過正交變換將一組可能存在相關性的變量轉換為一組線性不相關的變量，轉換后的這組變量叫主成分。在用統計分析方法研究多變量的課題時，變量個數太多就會增加課題的復雜性。主成分分析是對于原先提出的所有變量，將重復的變量（關系緊密的變量）刪去多余，建立盡可能少的新變量。如第一主成分為：“PC1=a1X1+…+akXK”對國控點的數據進行主成分分析：

（1）首先判斷主成分的數目，這里使用Cattell碎石檢驗，表示了特征值與主成數目的關系。一般的原則是：要保留的主成分的個數的特征值要大于1且大于平行分析的特征值。前四個主成分的累積貢獻率已達到91%，另外三個主成分就可以舍去，達到降維的目的。從程序運行結果來看：第一主成分（PC1）的貢獻率將達到50%，起最大的作用，其中PM25、PM10和CO的系數都在0.5左右，也就是說，PM25、PM10和CO對空氣質量的影響較大，可用來進行一般性評價的維度。

（2）運用主成分分析法對自建點的數據進行分析，分析結果可以發現前七個主成分的累積貢獻率已達到92%，另外四個主成分就可以舍去，達到降維的目的。從程序結果來看：第一主成分（PC1）的占比較多，起較大的作用，其中PM2.5、PM10和CO的系數都在0.5左右。而國控點的影響因素也包含PM2.5、PM10和CO，初步推斷兩組數據比較吻合的，且PM2.5、PM10和CO對空氣質量的監測中有比較大的影響。

（二）因子分析法

因子分析[2]（factor analysis）是主成分分析的推廣和發展，它也是多元統計分析中降維的一種方法，是一種用來分析隱藏在表面現象背后的因子作用的一類統計模型.因子分析是研究相關陣或協方差陣的內部依賴關系，它將多個變量綜合為少數幾個因子，以再現原始變量與因子之間的相關關系。可表達為：“Xi=a1f+Ei，i=1，2，…，P，”。

其中f是對所有x（=12，…，D）都起作用的公共因子（common fotor），它表示影響因素的因子，系數ai稱為因子載荷（loading），變量x特有的特殊因子這就是一個最簡單的因子模型進一步，可把簡單因子模型推廣到多個因子的情況，用這m個不可觀測的互不相關的公共因子f1，f2，…，fm（也稱為潛因子）和一個特殊因子c1來描述原始可測的相關變量X1，X2…，X，并解釋分析影響因素它們的系數a1，a2，…，am稱為因子載荷，這就是一個因子模型。根據結論進行分析：在國控點的數據中，因子分析的結果顯示在第一個公共因子中，系數絕對值較大的是PM2.5、PM10和CO，可以與主成分分析中的結論相對應。

在自建點的數據中，因子分析的結果中顯示在第一公共因子中，系數絕對值較大的也是PM2.5和PM10，根據以上的模型結果，大致可以推出PM2.5和PM10對空氣質量的監測數據影響較大。

（三）一元線性回歸模型

在統計學中，線性回歸[3]是利用稱為線性回歸方程的最小平方函數對一個或多個自變量和因變量之間關系進行建模的一種回歸分析。只有一個自變量的情況稱為簡單回歸，大于一個自變量情況的叫做多元回歸。本題運用到一元線性回歸表示式如下：“Y=β0+β1X”中，Y代表國控點的PM2.5、PM10、CO、NO2、SO3、O3濃度;β0、β1代表一元線性回歸方程的參數;X代表自建點的PM2.5、PM10、CO、NO2、SO3、O3濃度。

我們對自建點和國控點的“兩塵四氣”監測數據做了一元線性回歸模型，根據題目的要求我們建立一元線性回歸模型，得出以下結果：

1.PM2.5（國控點）和PM2.5（自建點）的對比

建立一元線性回歸模型，得出兩者的函數關系式：Y1=1.27X1+3.37，從模型結果來看兩者之間的關系是顯著的，反映出國控點的PM2.5和自建點的PM2.5成線性關系，回歸系數也在置信區間內，可知該模型是成立的。

2.PM10（國控點）和PM10（自建點）的對比

建立一元線性回歸模型，得出兩者的函數關系式：Y2=1.16X2+30.01，從模型結果來看兩者之間的關系是顯著的，反映出國控點的PM10和自建點的PM10的線性關系。回歸系數也在置信區間內，可知該模型是成立的。

3.CO（國控點）和CO（自建點）的對比

建立一元線性回歸模型，得出兩者的函數關系式：Y3=0.12X3+0.47，從模型結果來看兩者之間的關系是顯著的，反映出國控點的CO和CO的線性關系。回歸系數也在置信區間內，可知該模型是成立的。

4.NO2（國控點）和NO2（自建點）的對比

建立一元線性回歸模型，得出兩者的函數關系式：Y4=0.42X4+44.01，從模型結果來看兩者之間的關系是顯著的，反映出國控點的NO2和自建點的NO2的線性關系。回歸系數也在置信區間內，可知該模型是成立的。

5.SO3（國控點）和SO3（自建點）的對比

建立一元線性回歸模型，得出兩者的函數關系式：Y5=0.03X5+15.67，從模型結果來看兩者之間的關xi不是很顯著的，但是國控點的SO2和自建點的SO2還是線性關系。回歸系數也在置信區間內，可知該模型是成立的。

6.O3（國控點）和O3（自建點）的對比

建立一元線性回歸模型，得出兩者的函數關系式：Y6=0.27X6+53.05，從模型結果來看兩者之間的關xi不是很顯著的，但是國控點的SO2和自建點的SO2還是線性關系。回歸系數也在置信區間內，可知該模型是成立的。

（四）多元線性回歸模型

在統計學中，線性回歸（Linear Regression）是利用稱為線性回歸方程的最小平方函數對一個或多個自變量和因變量之間關系進行建模的一種回歸分析。這種函數是一個或多個稱為回歸系數的模型參數的線性組合。只有一個自變量的情況稱為簡單回歸，大于一個自變量情況的叫做多元回歸。（這反過來又應當由多個相關的因變量預測的多元線性回歸區別，而不是一個單一的標量變量）。本題運用到多元線性回歸[4]，多元線性表示式：“Yn=β0+β1X1+β1X2+……+βnan”式中，我們以自建點的濕度、溫度、風速、氣壓、降水為自變量，分別以國控點的“兩塵四氣”為因變量，做多元線性回歸模型（程序見附錄四），根據題目的要求我們建立多元線性回歸模型。得出結果：除了風速對PM2.5的影響不顯著，其他結果都很顯著。從結果看：濕度、溫度、風速、氣壓、降水對自建點監測的“兩塵四氣”的數據是有影響的。但是由于非常規氣態污染物（氣）濃度變化對傳感器會存在交叉干擾，所以我們接著用相關性分析[5]對每個因素的交互干擾進行分析。

研究結果顯示：AQI的六個指標之間兩兩的相關性，即相關程度。現對其一一解釋：

（1）PM2.5與其余的五個指標PM10，CO，NO2，SO2，O3的相關系數分別為0.8157，0.6624，0.2590，0.2713，-0.2690，可知PM2.5與PM10，CO相關性較大，而與PM10的相關程度超過80%，說明與PM10是強相關的，而與O3的相關性是負相關，而且值較小，所以是弱相關。

（2）PM10與其余指標CO，NO2，SO2，O3的相關系數分別為0.5822，0.3064，0.3064，-0.1765，可知PM10與CO，NO2，SO2是正相關，而與O3是負相關，且相關性不強，相關系數為-0.1765。

（3）CO與NO2，SO2，O3的相關系數分別為0.2983，03119，-0.2737，可知CO與NO2，SO2的相關程度在30%以上為正相關，而與O3相關系數為-0.2737，說明為負相關，說明兩者相關性不高。

（4）NO2與SO2，O3的相關性系數是-0.3440，-0.2544，都為負相關，從數值上看，相關性都不是很強。

（5）SO2與O3的相關性系數為-0.2840，為負相關，從數值上看，相關性不強。

三、模型推廣與評價

模型的優點：線性回歸模型較簡單，應用較廣，容易操作;因子分析法能很好的涵蓋原始數據的各個項，同時將分析過程簡化為因子項的分析，變量比原始的變量少了很多，起到了降維的作用，為我們處理數據降低了難度，從而更加簡便。

模型的缺點：回歸分析中，選用何種因子和該因子采用何種表達式只是一種推測，這影響了因子的多樣性和某些因子的不可測性，使得回歸分析在某些情況下受到限制。未能完全考慮到其他各種因素。

參考文獻：

[1]陳立萍，薛毅.統計建模與R軟件（下冊）[M].清華大學出版社，2006，07.

[2]Abhishek Singh，Karthik Ramasubramanian.R語言機器學習[M].機械工業出版社，2018，06.

[3]洪錦魁，蔡桂宏.R語言[M].清華大學出版社，2016，06.

[4]司守奎，孫璽菁.數學建模算法與應用[M].國防工業出版社，2012，06.

[5]Andrie de Vries，Joris Meys.R語言可以很簡單[M].人民郵電出版社，2017，07.