三次Cardinal樣條函數的自由參數優化方案 *

李軍成,劉成志

(湖南人文科技學院數學與金融學院,湖南 婁底 417000)

1 引言

在計算機輔助設計與計算機圖形學中，數據插值一直都是重要的研究課題。由于三次Cardinal樣條[1]不僅無需求解方程組即可直接插值于給定的數據點，而且當數據點保持不變時還可通過所含的自由參數對插值曲線的形狀進行調控，這些優點使其被應用在許多工程領域[2,3]。近年來，為了進一步擴展多項式形式的三次Cardinal樣條，研究者們構造了基于三角函數的Cardinal樣條[4,5]、基于雙曲函數的Cardinal樣條[6]以及五次多項式Cardinal樣條[7]等。這些擴展型的三次Cardinal樣條雖然在某些方面要優于傳統的三次Cardinal樣條，但其表示形式的復雜度也隨之提高。因此，傳統三次Cardinal樣條仍具有較高的研究價值。

雖然在利用三次Cardinal樣條進行插值時，可通過所含的自由參數對插值效果進行任意修改，但若要使得插值曲線能滿足某些特定的幾何要求，則需要合理地選定自由參數的取值。然而，在實際應用中，往往很難對自由參數進行合理的選擇，此時則需要給出自由參數的選取方案。為了使得構造的平面三次Cardinal樣條曲線盡可能光順，文獻[8,9]提出利用曲率變化極小化選取自由參數。在插值問題中，往往需要構造具有良好的形狀保持效果或逼近效果的插值函數，因此如何選定自由參數的最優取值使得構造的三次Cardinal樣條函數具有良好的形狀保持效果或較好地逼近給定的函數也是值得研究的問題。為此，本文討論了插值問題中數據插值與函數逼近這2種情形下三次Cardinal樣條函數所含自由參數最優取值的計算方案。分別通過極小化二次平均振蕩與逼近誤差，獲得三次Cardinal樣條函數所含自由參數的唯一解，從而使得構造的插值曲線能具有良好的形狀保持效果或較好地逼近給定的函數。

2 三次Cardinal樣條函數

給定平面上一列數據點(xi,yi)(i=0,1,…,n)，設xi+1-xi=h(即相鄰節點間等距)，對于xi≤x≤xi+1，t=(x-xi)/h，三次Cardinal樣條[1]對應的函數可表示為:

Si(t)=b0(t)yi-1+b1(t)yi+

b2(t)yi+1+b3(t)yi+2

(1)

(2)

其中，i=1,2,…,n-2，α∈R為自由參數。

由式(1)計算可得:

(3)

(4)

由式(3)可知，除數據點(x0,y0)與(xn,yn)外，三次Cardinal樣條函數插值于其他給定的數據點(xi,yi)(i=1,2,…,n-1)。若要求三次Cardinal樣條函數也插值于數據點(x0,y0)與(xn,yn)，則需要添加2個輔助數據點(x-1,y-1)與(xn+1,yn+1)。為方便起見，在實際應用中常將添加的2個輔助數據點取為(x-1,y-1)=(x0,y0),(xn+1,yn+1)=(xn,yn)。

進一步地，由式(3)與式(4)可得Si(xi+1)=Si+1(xi+1),S′i(xi+1)=S′i+1(xi+1)，即三次Cardinal樣條函數滿足C1連續。

顯然，當給定數據點(xi,yi)(i=-1,0,…,n+1)時，三次Cardinal樣條函數的形狀將完全由自由參數α決定。

例1設數據點為xi=iπ/2,yi=cos(xi),i=0,1,2,3,4。圖1所示為補充2個輔助數據點后參數α取不同值時的三次Cardinal樣條函數曲線，其中長虛線對應的參數為α=-0.2，短虛線對應的參數為α=-0.5，實線對應的參數為α=-0.8。

Figure 1 Cubic Cardinal spline curves with different parameters圖1 不同參數對應的三次Cardinal樣條函數曲線

由圖1可知，當數據點保持不變時，可通過修改參數α的取值對三次Cardinal樣條函數的插值效果進行修改。然而，在實際應用中，往往要求插值曲線能滿足特定的幾何要求。此時，則需要合理地選定參數α的取值。下面給出插值問題中2種不同情形下，如何合理地選取三次Cardinal樣條函數中參數α的取值。

3 Cardinal樣條函數的自由參數優化方案

3.1 具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數

在插值問題中，數據插值是一種常見的情形。而在數據插值中，保形插值一直都是重要的研究課題[10 - 13]。下面討論如何選取參數α的最優取值，使得三次Cardinal樣條函數曲線具有良好的形狀保持效果。

對于給定的數據點(xi,yi)(i=0,1,…,n)，令xi=x0+hi(h為步長，且h>0)，若設L(x):=Li(x)=(1-t)yi+tyi+1,t=(x-xi)/h，顯然線性插值函數L(x)是最簡單的保形插值。因此，為了使得添加2個輔助點(x-1,y-1)與(xn+1,yn+1)后的三次Cardinal樣條函數Si(x)(i=0,1,…,n-1)具有良好的形狀保持效果，可定義目標函數:

(5)

由文獻[14,15]可知，通過極小化式(5)構造出的三次Cardinal樣條函數與L(x)最為接近。本文將通過極小化式(5)所構造出的三次Cardinal樣條函數稱為具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數。

為討論方便，將式(1)改寫為:

Si(x)=ui(x)α+vi(x)

(6)

其中，

ui(x):=-(t3+2t2-t)yi-1-(t3-t2)yi+

(t3-2t2+t)yi+1+(t3-t2)yi+2

vi(x):=(2t3-3t2+1)yi-

(2t3-3t2)yi+1

由式(6)得：

(7)

將式(7)代入式(5)，可得:

I1(α)=A1α2+2B1α+C1

(8)

其中，

由式(8)有:

(9)

(2) 當A1=0時，I1(α)=2B1α+C1，此時函數I1(α)沒有極值點。在這種情況下，可通過適當調整部分樣本點yi的取值以使得A1>0成立。

于是,可得如下定理：

定理1對于給定的數據點(xi,yi)(i=0,1,…,n)，令(x-1,y-1)=(x0,y0)，(xn+1,yn+1)=(xn,yn)，當A1≠0時，要使插值于數據點(xi,yi)(i=0,1,…,n)的三次Cardinal樣條函數具有極小二次平均振蕩，則參數應取為α=-B1/A1。

例2將數據點取為(x0,y0)=(0,0)，(x1,y1)=(1,1)，(x2,y2)=(2,3)，(x3,y3)=(3,4)，(x4,y4)=(4,7)，(x5,y5)=(5,8)，補充2個輔助數據點(x-1,y-1)=(0,0)，(x6,y6)=(5,8)。利用具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數進行插值時，經計算可得參數α約為0.038 0。繪制的具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數曲線(實線)、參數α=1.2時的三次Cardinal樣條函數曲線(短虛線)以及數據多邊形(長虛線)如圖2所示。

Figure 2 Cubic Cardinal spline curve with minimal quadratic average oscillation圖2 具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數曲線

由圖2可知，相對于參數取α=1.2時的三次Cardinal樣條函數曲線，具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數曲線明顯能更好地保持數據多邊形的形狀。因此，在實際應用中，當需要構造具有良好形狀保持效果的三次Cardinal樣條函數時,可通過所提出的方案選取自由參數的最優取值。

3.2 具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數

在插值問題中，函數逼近是另一種常見的情形。下面討論如何選取參數α的最優取值，使得三次Cardinal樣條函數能較好地逼近給定的函數。

給定函數y=f(x)(a≤x≤b)，設xi=a+hi，h=(b-a)/n，yi=f(xi)(i=0,1,…,n)。添加2個輔助點(x-1,y-1)與(xn+1,yn+1)后，為了使得三次Cardinal樣條函數Si(x)(i=0,1,…,n-1)能較好地逼近函數y=f(x)，可將式(5)中的Li(x)替換為f(x)，即定義目標函數:

(10)

顯然，通過極小化式(10)構造出的三次Cardinal樣條函數逼近函數y=f(x)的效果最好。 本文將通過極小化式(10)所構造出的三次Cardinal樣條函數稱為具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數。

與定理1類似，可得如下定理：

定理2對于給定的函數y=f(x)(a≤x≤b)，設xi=a+h′i，h′=(b-a)/n，yi=f(xi)(i=0,1,…,n)，令(x-1,y-1)=(x0,y0)，(xn+1,yn+1)=(xn,yn)。當A2≠0時，要使插值于函數y=f(x)的三次Cardinal樣條函數具有極小逼近誤差，則參數應取為α=-B2/A2，其中,

例3給定函數y=1/(1+x2)，取xi=-5+i，i=0,1,…,10，補充2個輔助數據點(x-1,y-1)=(x0,y0)，(x11,y11)=(x10,y10)。利用具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數逼近給定的函數時，經計算可得參數α約為-0.000 9。繪制的具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數曲線(實線)、參數α=1.4時的三次Cardinal樣條函數曲線(短虛線)以及原函數曲線(長虛線)如圖3所示。

Figure 3 Cubic Cardinal spline curve with minimal approximation error圖3 具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數曲線

由圖3可知，相對于參數α=1.4時的三次Cardinal樣條函數曲線，具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數曲線明顯能更好地逼近給定的函數。因此，在實際應用中，當需要構造能較好地逼近給定函數的三次Cardinal樣條函數時，可通過本文提出的方案選取自由參數的最優取值。

4 結束語

在利用三次Cardinal樣條函數進行插值時，為了使得插值曲線能滿足某些特定的幾何要求，需要合理地選定三次Cardinal樣條函數所含自由參數的取值。本文分別給出了通過極小化二次平均振蕩與逼近誤差來選取三次Cardinal樣條函數所含自由參數最優取值的方案，所獲得的插值曲線具有良好的形狀保持效果或能較好地逼近給定的函數。在實際應用中，當需要構造滿足相應幾何要求的三次Cardinal樣條曲線時，可利用本文所提出的方案選取自由參數的最優取值。