診斷高血糖高滲狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用

羅振國 李 星* 黃 瓊 李石生 黃 麗

（衡陽師范學(xué)院南岳學(xué)院，湖南 衡陽421008）

1 概述

糖尿病高血糖高滲綜合征是糖尿病嚴(yán)重急性并發(fā)癥表現(xiàn)之一，病情嚴(yán)重的患者經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重高血糖和血漿高滲透壓，不同程度神經(jīng)系統(tǒng)障礙或昏迷，死亡率高達(dá)40% 以上。高血糖高滲狀態(tài)的病人多為非胰島素依賴糖尿病，血漿胰島素水平比糖尿病酮癥酸中毒者要高，本身有拮抗酮體作用，目前這一類糖尿病在臨床上還沒有有效的治愈手段，治療的作用是在與控制血糖并延緩并發(fā)癥的發(fā)作。

近年來，我國許多學(xué)者深入探討了成纖維細(xì)胞生長(zhǎng)因子在調(diào)控機(jī)體、維護(hù)血糖平衡、增加胰島素敏感性等方面扮演的角色，從而證實(shí)成纖維細(xì)胞生長(zhǎng)因子參與了調(diào)控和維持機(jī)體的血糖代謝平衡[1-3]。2016 年，文獻(xiàn)[4]研究I 型糖尿病患者血糖控制系統(tǒng)，找到控制輸入和控制目標(biāo)輸出之間的關(guān)系，得出正常血糖濃度所對(duì)應(yīng)的精確控制輸入，保證血糖的平衡。目前還有學(xué)者探討了糖尿病酮癥酸中毒和高血糖高滲狀態(tài)，但只是研究病理生理、誘因、治療原理等方面，沒有應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來研究血糖、胰島素、胰島素拮抗激素之間的關(guān)系。

因此建立一個(gè)描述血糖- 胰島素調(diào)節(jié)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型對(duì)于量化血糖與胰島素之間的作用，預(yù)測(cè)病人體內(nèi)血糖的變化十分必要。

1.1 病理生理

高血糖高滲狀態(tài)發(fā)病機(jī)制復(fù)雜，主要是肝臟與脂肪組織中的胰島素不足，而胰島素對(duì)抗性調(diào)節(jié)激素，特別是胰高血糖素素的升高而造成的。胰高血糖素促進(jìn)了糖原分解和糖異生，皮質(zhì)醇刺激蛋白質(zhì)的分解，產(chǎn)生的氨基酸又成為糖異生的底物，從而進(jìn)一步阻礙胰島素的外周作用，加重高血糖。由于在脂肪組織中，胰島素缺乏還有對(duì)抗激素的升高，使得激素敏感性脂肪酶活化，儲(chǔ)存的甘油三酯被分解為游離脂肪酸和甘油，肝臟在代謝游離脂肪酸時(shí)可以不氧化出酮體，并且高滲和脫水本身也會(huì)抑制脂肪的分解，使得游離脂肪酸不會(huì)過多的進(jìn)入肝臟，這也是高血糖高滲狀態(tài)與糖尿病酮癥酸中毒的機(jī)制的不同之處。

1.2 國內(nèi)研究情況

2007 年，針對(duì)2 型糖尿病的防治，國內(nèi)臨床采用世界衛(wèi)生組織1999 年和2003 年的標(biāo)準(zhǔn)，關(guān)于糖尿病的治療方法，國內(nèi)已經(jīng)提出了藥物療法、飲食療法和運(yùn)動(dòng)療法三種方法，2013 年，有專家在中醫(yī)的基礎(chǔ)上，建立了糖尿病中醫(yī)“三早”綜合防治體系，但是對(duì)1 型糖尿病的診斷標(biāo)準(zhǔn)的研究相對(duì)較少。

目前國內(nèi)的研究嚴(yán)謹(jǐn)性不高，研究方法單一，糖尿病性質(zhì)研究主題多聚焦于糖尿病人的自我管理，心態(tài)狀態(tài)，健康教育及需求等方面。但依然存在著研究對(duì)象不均衡，研究主題狹窄及角度單一的問題。

1.3 國外研究情況

2011 年，美國糖尿病學(xué)會(huì)對(duì)妊娠期糖尿病的診斷提出了新標(biāo)準(zhǔn)：對(duì)于尚未知曉是否患有糖尿病的孕婦，在妊娠24～28 周采用75g 葡萄糖耐量試驗(yàn)。近年來，美國科學(xué)家們?cè)谛∈蠛痛笫髮?shí)驗(yàn)中阻止了2 型糖尿病形成，取得了有一定的進(jìn)展。此外，霧化胰島素吸入治療糖尿病在國外研究也有一定的進(jìn)展。

2 模型的建立

2.1 模型假設(shè)

（1）鑒于葡萄糖是細(xì)胞組織的主要能量來源，但都有最佳的血糖濃度，假設(shè)當(dāng)超過這個(gè)濃度時(shí)，將導(dǎo)致生病、甚至死亡。

（2）認(rèn)為生理激素和其它新陳代謝是血糖含量自我調(diào)節(jié)的主要因素。

（3）假設(shè)葡萄糖只有在胰島素的作用下才能進(jìn)行大量的生化反應(yīng)，從而降低血糖濃度。

（4）定義G 為血糖濃度，H 為內(nèi)分泌激素濃度。

鑒于上述假設(shè)，血糖濃度的變化依賴于體內(nèi)原有血糖濃度和內(nèi)分泌激素濃度，把這種函數(shù)關(guān)系定義為F1（G，H），血糖濃度還與外加葡萄糖有關(guān)，記為J（t），又因?yàn)閮?nèi)分泌激素濃度的變化則依賴于體內(nèi)血糖濃度和內(nèi)分泌激素濃度，這種函數(shù)關(guān)系定義為F2（G，H）。

2.2 數(shù)據(jù)假設(shè)

（1）當(dāng)沒有外界攝入時(shí)，人體內(nèi)有一個(gè)血糖濃度和內(nèi)分泌激素濃度的平衡狀態(tài)分別是G0、H0。

（2）僅僅考慮血糖濃度G 和以胰島素為代表的內(nèi)分泌激素濃度H 的相互作用。

（3）只考慮在平衡狀態(tài)G0、H0附近的小偏差。

2.3 模型建立

設(shè)G（t）、H（t）分別表示t 時(shí)刻血糖與激素的濃度，則有可得增加率的平衡：

其中F1（G，H），F(xiàn)2（G，H）分別表示血糖濃度的變化和激素濃度的變化與G，H 的函數(shù)關(guān)系式，J（t）為t 時(shí)葡萄糖的外界攝入量。

存在G0，H0，有F1（G0，H0）=0 和F2（G0，H0）=0。令g（t）=G（t）=G（t）-G0，h（t）=H（t）-H0，則g（t），h（t）充分小，且有

將F1，F(xiàn)2在（G0，H0）附近展開并略去高階無窮小，帶人上式整理可得

取t=0 為外部輸入的G 完全被吸收的時(shí)刻，則有J（t）≡0，t>0 且g（0）=J（0）消去方程組中的變量h（t），可以得到

最后有G（t）=G0+Ae-αtcos（ωt-δ）是一條G0為平衡態(tài)的阻尼振蕩曲線，與血糖曲線形狀相近，其中參數(shù)G0，A，α，ω0，δ的最佳值可根據(jù)最小二乘原則，通過回歸分析的方法確定。由于測(cè)量G 時(shí)的微小誤差可能使α 值產(chǎn)生很大的誤差，而參數(shù)ω0- 系統(tǒng)的自然頻率，對(duì)于測(cè)量G 時(shí)的實(shí)驗(yàn)誤差不太敏感，故可把ω0的值作為解釋葡萄糖耐量試驗(yàn)的基本準(zhǔn)則。

2.4 模型分析

（1）直接觀測(cè)得到G0的值。

（2）可以取四個(gè)不同時(shí)刻（如ti=0.5，1，2，3）的血糖觀測(cè)值，并求解非線性方程組得到四個(gè)參數(shù)A，α，ω0，δ 的值。

2.5 診斷指標(biāo)

3 模型的應(yīng)用

糖尿病作為代謝性內(nèi)分泌系統(tǒng)疾病，可導(dǎo)致人體蛋白質(zhì)、糖、脂肪、水等處于異常狀態(tài)。高血糖高滲狀態(tài)作為一種嚴(yán)重的糖尿病急性并發(fā)癥之一，其臨床特征：嚴(yán)重的高血糖、脫水、酮癥酸中毒，導(dǎo)致患者意識(shí)障礙、甚至昏迷。運(yùn)用上述模型可以用來求解血糖濃度與最佳濃度的偏差，診斷人體是否患有高血糖高滲狀態(tài)。因此，建立的數(shù)學(xué)模型與應(yīng)用的方法，對(duì)進(jìn)一步調(diào)節(jié)血糖、診斷高血糖滲透狀態(tài)具有一定的參考價(jià)值。

4 結(jié)論

通過建立的數(shù)學(xué)模型，將建立的微分模型運(yùn)用到實(shí)際問題中去，把實(shí)際問題通過數(shù)學(xué)公式展示出來，經(jīng)過科學(xué)分析處理得到定量的結(jié)果，為實(shí)際醫(yī)學(xué)問題提供了理論依據(jù)，從而可以避免由于主觀因素造成的誤診誤治，進(jìn)一步提高臨床診斷和醫(yī)學(xué)研究的準(zhǔn)確性。本項(xiàng)目還充分的考慮了多種因素對(duì)血糖濃度的影響，更加說明了該數(shù)學(xué)模型是合理的，為臨床診斷提供一定的參考價(jià)值。