基于窗函數與頻率采樣法的FIR濾波器仿真與實現

徐晗

（黑龍江科技大學電氣與控制工程學院,黑龍江哈爾濱，150022）

0 引言

有限沖激響應FIR數字濾波器又稱為非遞歸型濾波器，在保證任意幅頻特性的同時具有嚴格的線性相頻特性，還有著有限長的單位抽樣響應，因此濾波器是個穩定的系統。

1 窗函數法

窗函數法步驟簡單、內容直觀，是濾波器重要設計方法之一。由于FIR 濾波器的沖激響應序列是有限長的，需要用一個有限長的窗口函數序列ω（n）對無限長脈沖響應hd(n)進行截取，生成一個有限長脈沖響應h(n)=ω(n)*hd(n)。

窗函數法設計FIR濾波器步驟如下：

（1）根據設計指標，對過濾單元的響應hd(n)進行采樣，

從頻率采樣定理來看，hm(n)和hd(n)需滿足如下關系：

如果已經給出邊界頻率和阻帶通帶衰減要求，可以采用理想濾波器作為逼近函數，再作傅里葉逆變換求出hd(n)。如果未給定阻帶衰減，則要根據通帶紋波和阻帶紋波去求：

式中Rp為通帶波動，As為阻帶最小衰減，δp為通帶紋波，δs為阻帶紋波。

（2）根據過渡頻帶和停止頻帶衰減的要求，選擇窗口的形式和窗口函數的長度N。假設Δω為濾波器的長度，由于過渡帶的濾波器長度與窗口長度近似成反比，窗函數主瓣寬度與窗口函數近似相等，所以N≈A /Δω，由窗口的形式所決定，用 A 表示。

(3)計算濾波器的單位沖擊響應h(n)：

式中ω(n)是已選擇的窗函數。如果要求線性相位，則要求hd(n)和ω(n)均對（N-1)/2對稱，如要求h(n）對(N-1)/2奇對稱，只要保證hd(n)對(N-1)/2奇對稱就可以了。

2 常用窗函數

各窗函數的性能如下表1所示。

表1 各窗函數性能

窗函數的主瓣寬度決定了Hd( jω )過渡帶的寬度，窗函數長度N越大，過渡帶越小。

3 頻率采樣法

窗函數法是從時域出發，而頻率采樣法，是從頻率出發。根據頻域采樣定理，在得到FIR濾波器的N個頻域采樣值H(k)后，傳輸函數H（z）為

按頻率采樣定理由Hd(k)求H(z)或h(n)。

為使濾波器保持線性相位，H(ejω) 和 H（k）要滿足一定的條件。一般理想濾波器的幅度響應只給出了（0～π）范圍頻率采樣的幅度值，所以上式中k只能取0～N/2的點，從N/2+1～N-1的點要根據線性相位的奇偶對稱條件求得，步驟如下：

4 FIR濾波器仿真實現

4.1 基于漢明窗的低通濾波器

設計一個低通濾波器，Wp=0.2π,Ws=0.4π,Ap=0.25dB,As=50dB，這里選用漢明窗。

漢明窗低通濾波器仿真運行結果：

N=34

Ap=0.0477dB＜0.25dB

As=52dB＞50dB

經驗證完全符合設計要求。

圖1 漢明窗低通濾波器

圖2 漢寧窗帶阻濾波器

4.2 基于漢寧窗的帶阻濾波器

設計一個帶阻濾波器，Wp1=0.2π,Ws1=0.4π,Wph=0.6π,Wsh=0.8π,Ap1=0.5dB,Ap=0.5dB, As=40dB，As=40dB,這里選用漢寧窗。

圖3 雙帶通濾波器

漢寧窗帶阻濾波器仿真運行結果：

N=31

Ap=0.1502dB＜0.5dB

As=40dB=40dB

經驗證完全符合設計要求。

4.3 基于頻率采樣法的多帶濾波器

設計多帶濾波器，理想幅頻響應在歸一化頻率 0.2～0.3 之間為 0.5，在 0.6～0.7 之間為1，其余處為0。

分別取濾波器長度N為20、50、100對比，可以看到N越大通帶增益越高，阻帶衰減越快，但也會相應的增加濾波器的成本，故頻率采樣法一般用于窄帶FIR濾波器的設計工作。

5 結束語

本文通過對窗函數法和頻率采樣法的分析和介紹，設計并實現了FIR濾波器的仿真，仿真結果表明，FIR濾波器的各項性能指標均滿足要求，為后者更好地設計數字濾波器提供了參考。