《萬(wàn)有引力與航天》中“跟隨”與“環(huán)繞”問(wèn)題分析

張馳 郭春文

[摘 ? 要]《萬(wàn)有引力與航天》涉及兩種圓周運(yùn)動(dòng)：地球上的物體跟隨地球的自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，天上的衛(wèi)星環(huán)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)。兩者特別容易混淆。文章針對(duì)這一難點(diǎn)進(jìn)行分析，并指出地球同步衛(wèi)星是兩者的紐帶。

[關(guān)鍵詞]萬(wàn)有引力;跟隨;環(huán)繞;向心力

[中圖分類號(hào)] ? ?G633.7 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號(hào)] ? ?1674-6058（2020）32-0049-03

地球上的物體被動(dòng)地跟隨地球做圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)與地球的自轉(zhuǎn)有關(guān)。天上的衛(wèi)星主動(dòng)環(huán)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，從動(dòng)力學(xué)角度看，這種運(yùn)動(dòng)與地球的自轉(zhuǎn)無(wú)關(guān)。雖然這兩類模型都是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，但二者還是有所區(qū)別的，其中最本質(zhì)的區(qū)別在于向心力的來(lái)源不同。本文結(jié)合高考題、模擬題進(jìn)行剖析。

一、跟隨模型

1.向心力來(lái)源：由萬(wàn)有引力的一個(gè)分力提供

課本上，重力是這樣定義的：因?yàn)榈厍虻奈刮矬w受到的力叫重力，那么為什么不直接說(shuō)萬(wàn)有引力就是重力呢？其實(shí)，地球不停地自轉(zhuǎn)導(dǎo)致地球上的物體被迫跟隨它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由萬(wàn)有引力的一個(gè)分力提供，萬(wàn)有引力的另一個(gè)分力就是我們熟悉的重力。如圖1所示，萬(wàn)有引力的方向指向地球球心，向心力方向垂直地軸，重力方向豎直向下。物體跟隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)跟地球的自轉(zhuǎn)有關(guān)。

2.在考慮地球自轉(zhuǎn)的情況下，萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系

隨著緯度的降低，物體跟隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑增大，因而物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F向 （[F向=mω2r]，式中[ω]是定值）也隨之增大，故物體重力隨著緯度降低而減小，即重力加速度g從兩極到赤道逐漸減小。正是由于地球的自轉(zhuǎn)，導(dǎo)致不同緯度處的重力加速度有所不同。

接下來(lái)討論兩個(gè)特殊位置的情況。如果物體在地球兩極表面，則物體不會(huì)跟隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)，即[r=0]，[F向=0]，因此萬(wàn)有引力全部等于重力。如果物體在地球赤道表面，萬(wàn)有引力和它的兩個(gè)分力（即重力和向心力）都指向地球球心，因此萬(wàn)有引力等于重力與向心力之和。（具體見(jiàn)例題1）

如果物體放在地球表面一般位置，需要把萬(wàn)有引力按照力的平行四邊形定則分解為重力和向心力，結(jié)合物體所在的緯度加以計(jì)算。

3.在不考慮地球自轉(zhuǎn)的情況下，萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系

當(dāng)物體處在地球赤道表面時(shí)，物體隨地球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最大，需要的向心力最大，[F向max=mω2R=m2πT2R]，此時(shí)向心力與萬(wàn)有引力的比值：[m2πT2RGMmR2=4π2R3GMT2≈1300]（G是引力常量，R是地球半徑，M是地球質(zhì)量，T是地球自轉(zhuǎn)周期，都是已知量）。

向心力最多也只占萬(wàn)有引力的三百分之一，微乎其微，因此才可以忽略向心力，即忽略地球自轉(zhuǎn)的影響。在不考慮地球自轉(zhuǎn)的情況下，可以認(rèn)為地球表面上的物體受到地球的引力等于該物體在地球表面處的重力，即[GMmR2=mg]（G是引力常量，m是物體質(zhì)量，R是地球半徑，M是地球質(zhì)量，g是地球表面的重力加速度）。此式建立了地球質(zhì)量、半徑和地球表面重力加速度之間的代換關(guān)系，其重要性堪比黃金，因此稱為黃金代換。

如果是在距離地球表面一定高度h處，則該位置到地球球心距離不再是地球半徑R，而是R+h，用R+h取代R即可，即[GMmR+h2=mgh]，此式也是黃金代換式（其中[gh]是在距離地面一定高度h處的重力加速度），此式也說(shuō)明了隨著高度的增加，重力加速度逐漸減小。（具體見(jiàn)例題2）

當(dāng)然，并不是所有星球都像地球這樣可以忽略自轉(zhuǎn)。如果某個(gè)星球自轉(zhuǎn)效應(yīng)明顯，則對(duì)于該星球黃金代換式就不成立了，或者說(shuō)近似度很低。

二、環(huán)繞模型

1.向心力來(lái)源：萬(wàn)有引力全部用來(lái)提供向心力

我們知道，人造衛(wèi)星環(huán)繞地球的運(yùn)動(dòng)可以視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力全部由地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力F 提供，如圖2所示。從動(dòng)力學(xué)角度看，地球的自轉(zhuǎn)對(duì)衛(wèi)星的圓周運(yùn)動(dòng)沒(méi)有影響。

不僅僅人造衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)，類似的運(yùn)動(dòng)情景還有很多，比如月球環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)，地球環(huán)繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)。如果A環(huán)繞B運(yùn)動(dòng)，我們把A叫作環(huán)繞天體，把B叫作中心天體。中學(xué)階段，我們可以認(rèn)為環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力全部提供向心力，這一點(diǎn)與跟隨模型有著本質(zhì)的區(qū)別。中心天體質(zhì)量記為M，半徑記為R，環(huán)繞天體質(zhì)量記為m，軌道半徑記為r。

2.環(huán)繞天體的角速度、公轉(zhuǎn)周期、線速度、向心加速度和軌道半徑的關(guān)系

通過(guò)參考例題4，我們可以看出這兩類模型也不是孤立的。無(wú)論是地球同步衛(wèi)星，還是其他普通衛(wèi)星，環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)力學(xué)角度看，萬(wàn)有引力全部用來(lái)提供向心力，向心力來(lái)源是一樣的。從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度看，地球同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期和地球自轉(zhuǎn)周期相等，當(dāng)然也等于地球上的物體跟隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。因此，地球同步衛(wèi)星是連接跟隨模型和環(huán)繞模型的重要紐帶。

[ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ]

[1] ?李良偉.天體運(yùn)動(dòng)的幾種模型[J].物理通報(bào)，2016（8）：61-64.

[2] ?張煒.關(guān)于萬(wàn)有引力問(wèn)題的兩個(gè)典型模型[J].中國(guó)校外教育，2015（9）：124.

[3] ?先春.萬(wàn)有引力中的易混淆的三個(gè)問(wèn)題[J].才智，2008（18）：131.

（責(zé)任編輯 易志毅）