2020年全國Ⅲ卷導數壓軸題解法研究

欒功

[摘 要]利用導數研究函數的性質是歷年高考數學壓軸題的考查熱點，重點研究2020年全國Ⅲ卷導數壓軸題的解法，以給教師的教學和學生的學習提供借鑒與幫助.

[關鍵詞]全國Ⅲ卷;導數壓軸題;解法研究

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2020）32-0001-04

一、 試題呈現

題目：（2020年全國Ⅲ卷21）設函數[fx=x3+bx+c]，曲線[y=fx]在點[12， f12]處的切線與[y]軸垂直.

（1）求[b];（2）若[fx]有一個絕對值不大于[1]的零點，證明：[fx]所有零點的絕對值都不大于[1].

二、 試題分析

試題嚴格依據中國高考評價體系命制，全面考查導數及其應用等知識，及邏輯推理能力、分析與解決問題能力、運算求解能力等.從高考評價體系的“四翼”來講，第（1）問的命制立足于基礎性，給出定點處的切線求[b]的值，設問方式常見，在教材習題和歷年高考試題中都有體現. 第（2）問的命制體現綜合性、應用性和創新性，以基本概念零點為問題情境綜合考查考生分析問題和解決問題的能力，設問較以往有新意，打破了刷題的怪圈.該問的解決需要綜合利用函數的特征和函數的單調性，從多角度考查了利用導數研究函數性質的方法，對考生的邏輯推理能力、分析與解決問題的能力都提出了較高的要求.

三、 解法探究

評注：解法9從不完全三次方程[x3+px+q=0]的判別式入手，結合卡爾丹公式及三次方程根與系數的關系解題，在判斷三次方程根的個數時有其獨特的優勢，但在根的求解和范圍探究時對考生邏輯推理能力、數學運算能力要求都較高.

試題逐步設問，由淺入深，尤其是第（2）問的考查層次分明，重點突出，為不同層次的學生提供了廣闊的思維空間，使學生理性思維的廣度和深度得以展示.教師在高三備考中深入研究真題的多種解法，有利于進一步培養學生的解題能力和思維能力.

（責任編輯 黃春香）