撲克牌讀心術的破解及其蘊含的編碼理論

李遠哲 西南石油大學計算機科學學院

1 不含王牌的5 張牌讀心術

1.1 基本策略

一副牌共有52 張，花色分黑桃、紅桃、草花、方塊四種，面值從A 到K 共13 種。我們需要用四張明牌體現出花色和面值這兩類信息。第1 張明牌界定花色，4 張牌共同界定面值。

1.2 具體做法

首先，由于總共5 張牌，最多包含4 種花色，根據鴿巢原理，一定有某種花色的牌大于等于2 張，我們就選這個花色的牌作為暗牌。比如，一手牌為（黑桃3，紅桃5，黑桃7，方塊J，梅花A），這其中有兩張黑桃，我們就選其中一張黑桃作為暗牌。至于究竟選哪張，后邊再來確定。這樣至少保證一點，即暗牌的花色與第一張明牌相同。

其次，我們來確定暗牌的面值。總的思路是以第一張明牌的面值為基礎，以第2至4 張牌的大小關系編碼作為增量來確定暗牌的面值。

第2 至4 張明牌按一般規則2＜3＜…K＜A，同面值的按四種花色也可定義：方塊＜梅花＜紅桃＜黑桃，這樣全副牌可以排成序列：方塊2＜梅花2＜紅桃2＜黑桃2……＜紅桃＜A 黑桃A。因此剛才例子中的一手牌就有唯一的次序：黑桃3＜紅桃5＜黑桃7＜方塊J＜梅花A。去除已經使用過的兩張黑桃后，其余三張牌有：紅桃5 ＜方塊J＜梅花A

假設我們暗牌選的是黑桃7，第一張明牌是黑桃3，如何用上述3 張牌表示增量4 是當前的主要問題。可以用中間三張牌的大小關系做如下編碼：小中大 增量為1，小大中 增量為2，中小大 增量為3，中大小 增量為4，大小中 增量為5，大中小 增量為6.

按照以上編碼，增量4 對應中大小，也就是第二到第四張牌對應為：方塊J、梅花A、紅桃5，全部5 張牌如下：黑桃3、方塊J、梅花A、紅桃5、黑桃7（暗牌）。

至此還有最后一個問題，假設黑桃牌不是黑桃3 和黑桃7，而是黑桃3 和黑桃J，也即二者差值大于6 怎么辦呢？此時我們用黑桃J作明牌，用黑桃3 作暗牌，在J 的基礎上加5 正好是16，也就是在模13 意義上的3。此時全部5 張牌如下：黑桃J、梅花A、紅桃5、方塊J、黑桃3（暗牌）。

2 含王牌的五張牌讀心術

如果五張牌中沒有王牌，可以用第1 部分的策略來解決。以下我們僅需考慮有一張或兩張王牌的情況。

2.1 兩張王牌

我們僅需僅需把一張王牌放在明牌第1 張，用以指示暗牌也為王牌。明牌是大王，暗牌則是小王，明牌是小王，暗牌則是大王。此時不需要第2—4 張牌攜帶任何信息，因此可以處理成暗牌，助手一見一明4 暗，則第五張一定是另一張王牌。

2.2 一張王牌

當5 張牌中包含一張王牌時，按照第1 部分的策略，王牌一定出現在明牌里。

第一種情況，若王牌以外的四張牌中有相同花色的兩張，則選擇一張作為花色指示牌放在第一張明牌處，選擇方法同上一部分。王牌作為偏移量指示部分，放在第2—4 位置中，此時王牌暗放。具體來說一般把王牌看成最大，黑桃A＜小王＜大王，其他約定規則與不含王牌相同。

第二種情況，若王牌以外的4 張牌花色各不相同，此時又要分兩種情況：2a 和2b。2a 是另外4 張牌面值不完全相同，2b 是另外四張牌面值完全相同，比如4 張7。

2a：選兩張序號之差不超過6 的牌，將序號低的放在首位，序號高的作為暗牌。然后按編碼規則放好其它3 張牌，此時王牌明放，暗牌花色是用互補提示法，即沒出現的那種花色，面值按前述規則確定。

2b：此時把王牌明放在首位，2 至4 張明放，第5 張暗放。此時采取互補提示法，花色由沒出現的花色來標定，面值與其他3 張明牌相同。此時應為第一張為王牌，無法加減，這樣不會造成混淆。

3 廣義的撲克牌讀心術

3.1 加入更多的變量

這個魔術或者叫游戲的拓展可以從兩方面展開，一是一副牌上加以改變，不再是一副普通的撲克牌了，是一副我們自己構造出來的牌。另外可以從一手撲克牌上進行改變，比如不取五張牌搞讀心術了，改為4 張、或改為6 張。也可以兩方面結合，這樣就是一個面貌全新的游戲了。

3.2 四張牌的讀心術

如果縮減為3 張明牌，一張用來暗示暗牌的花色和基礎序號，那么只有兩張牌可以暗示偏移量信息，而兩張牌的大小關系只有兩種可能的排列方式，因此每種花色最多只能有5 張牌，這樣可以保證同花色的兩張牌間的最小距離不會超過2。至于花色數，由于一手牌只有4 張，因此花色只能有3種，才可以保證有兩張牌同花色。至此我們知道，4 張牌的讀心術的全副牌應該為3 種花色，每種花色5 張牌，整副牌共計15 張。

3.3 編碼的能力極限

從純計數的角度考慮這個問題，如果我們從一副牌共d 張中抽取n 張牌的一手牌，我們可以傳遞多少種不同的信號？進而推得d 的上限應該是多少。

我們抽取n 張牌，究竟能傳遞多少種信號呢？首先明牌有(n-1)！種排列方式，暗牌又有n 種選擇方案，因此總共有n！種信號。再將明牌的數量加入其中，則d=n！+n-1。即d 張牌的的一副牌可以通過抽取n 張的一手牌來進行讀心術魔術。下面我們給出兩個較小的例子。

當n=2 時，d=3。假設一副牌只有（1，2，3），我們任意取一手2 張牌，只可能是（1，2）或（1，3）或（2，3），此時我們可以將模3 意義下較小的一張作為明牌，即分別取1、3、2 作為上述3 手牌的明牌即可。

當n=3 時，d=8。此時就不是那么輕而易舉的解答了。假設一副牌仍然是（1，2，3，4，5，6，7，8），典型的一手牌如（2，3，7）。此時我們考慮明牌可見的有序二元組和包含暗牌在內的3-組合之間的關系。

明牌是2 張牌的2-排列，如果整副牌是1---8，則這個2-排列共有8*7=56 種可能。同時我們考慮含暗牌的三組合c（8，3）恰好也等于56。因此如果我們能建立起一種一一對應關系來我們就可以從明牌的2 元有序對，直接推得一個3 元組合，這個三元組合必須包含二元有序對兒中的兩個元素。

這兩個集合基數是相等的，都為56。這兩個集合之間的關系滿足6-正則兩部圖，下面我們仔細分析下兩個集合間的可能的對應關系。對于明牌＜1,2＞對應的3組合只能是以下六種，（1，2，3）、（1，2，4）、（1，2，5）、（1，2，6）、（1，2，7）和（1，2，8）。對于整手牌比如（1，2，3），對應的明牌只可能是＜1，2＞、＜2，1＞、＜1，3＞、＜3，1＞、＜2，3＞和＜3，2＞。其它有序對和三元組也都是如此。這樣看來整幅圖是6 正則的兩部圖。

3.4 正則兩部圖上的解

幸運的是，根據兩部圖的婚姻定理，這樣的正則兩部圖總存在完美匹配。這樣我們就可以以其中一個完美匹配為編碼和解碼的原則來實現撲克牌讀心術。

4 結語

魔術謎題浩如煙海，編碼理論魅力無窮，我們將二者結合，主要透過讀心術魔術謎題及其解密來探討編碼的能力及其上限。其中不含王牌的謎題解法嚴密、邏輯清晰；含王牌的魔術謎題則略顯復雜，情況也分得比較多。至于廣義的撲克牌讀心術，我們只是做了初步的探討，這里有編碼能力的問題，相對還是比較好研究的，更為困難的是具體可行解的探索，這將是長期的復雜的過程。目前還僅對正則兩部圖的求解有確實的理論依據和行之有效的做法，對于廣義的問題有待于進一步探索。